Funkcija koja preslikava skup realnih brojeva $\mathbb{R}$ u skup realnih realnih brojeva $\mathbb{R}$, a koja je zadata formulom
$f(x) = ax^{2}+bx+c, ~~ a \neq 0;~ ~ a, b, c \in \mathbb{R}$
naziva se $\textbf{kvadratna funkcija}$.
Slično kao kod linearnih funkcija, i ovde ćemo se baviti ispitivanjem osobina kvadratne funkcije:
$\triangleleft ~ \textbf{Domen}$ kvadratne funkcije je ceo skup realnih brojeva $\mathbb{R}$.
$$\forall x \in \mathbb{R}, ~ ~ ax^{2}+bx+c \in \mathbb{R}$$
$\triangleleft ~ \textbf{Nule kvadratne funkcije}$ su one realne vrednosti promenljive $x$ za koje je vrednost funkcije
$$f(x) = ax^{2}+bx+c$$
jednaka nuli. Dakle, nule kvadratne funkcije su realni koreni kvadratne jednačine
$$ax^{2}+bx+c=0,$$
a ona ima realne kvadratne korene onda kada je diskriminanta veća ili jednaka 0, odnosno $$b^{2} - 4ac \geq 0.$$
Ako je $b^{2} - 4ac > 0$, onda su nule dva različita realna broja $x_{1}$ i $x_{2}$. Ove brojeve prikazujemo u koordinatnom sistemu $x0y$ kao apcise $x_{1}$ i $x_{2}$
tačaka koje pripadaju grafiku kvadratne funkcije.
Ako je $b^{2} - 4ac = 0$, onda funkcija ima jednu nulu ($x_{1} = x_{2}$) koja je predstavljena tačkom na $x$-osi (sa apcisom $x_{1}$).
Ako je $b^{2} - 4ac < 0$, onda funkcija nema nula, tj. njen grafik nema zajedničkih ta&#aka sa $x$-osom.
$\triangleleft ~ \textbf{Presek sa Oy osom.}$ Za $x=0$ kvadratna funkcija $f(x)= ax^{2}+bx+c$ ima vrednost $f(0)=c$. U koordinatnom sistemu $xOy$
to će biti tačka $A(0,c)$ na osi $Oy$. Ta tačka je dakle na grafiku kvadratne funkcije.
$$x^{2} - 4x +3$$
su $x_{1}=1$ i $x_{2} = 3$, a presek sa $y$-osom je tačka A(0,3).
$\triangleleft ~ \textbf{Ekstremne vrednosti.}$ Posmatrajmo ponovo kvadratnu funkciju $x^{2} - 4x +3$.
Kao što znamo, njene nule su brojevi koji odgovaraju tačkama $(1,0)$ i
$(3,0)$, a presek sa $Oy$-osom je $A(0,3)$. Izračunajmo za još neke promenljive $x$ vrednost funkcije $x^{2} - 4x +3$.
Rezultate upisujemo u sledeću tablicu:
$$x$$
$$-1$$
$$0$$
$$1$$
$$2$$
$$3$$
$$4$$
$$5$$
$$y$$
$$8$$
$$3$$
$$0$$
$$-1$$
$$0$$
$$3$$
$$8$$
Interpretirajmo sada u koordinatnom sistemu $xOy$ tu tablicu vrednosti funkcije za neke vrednosti promenljive $x$ i spojimo te tačke krivom linijom.
Nađimo u koordinatnom sistemu na slici tačke
i
,a
zatim približni grafik kvadratne funkcije $f(x) = x^{2} - 4x +3$.
Primetimo da je za $x=2$ vrednost funkcije $-1$ i da je ta vrednost manja od vrednosti funkcije za bilo koju drugu vrednost promenljive $x$.
Proverite za nekoliko vrednosti $x$. Zato kažemo da kvadratna funkcija ima $\textbf{minimalnu vrednost} -1$ za $x=2$, odnosno ima minimum
u tački $B(2, -1)$.
Uopšteno, kažemo da je funkcija $f: \mathbb{A} \longmapsto \mathbb{B} ~ ~ (\mathbb{A}, \mathbb{B} \subseteq \mathbb{R})$ ima na $\mathbb{A}~~ \textbf{minimum}$ u
tački sa apcisom $m \in \mathbb{A}$ ako je $f(m) \leq f(x)$ za svako $x \in \mathbb{A}$. Koordinate minimuma su dakle $(m, f(m))$.
Uopšteno, kažemo da je funkcija $f: \mathbb{A} \longmapsto \mathbb{B} ~ ~ (\mathbb{A}, \mathbb{B} \subseteq \mathbb{R})$ ima na $\mathbb{A} ~~\textbf{maksimum}$ u
tački sa apcisom $n \in \mathbb{A}$ ako je $f(n) \geq f(x)$ za svako $x \in \mathbb{A}$. Koordinate maksimuma su dakle $(n, f(n))$.
Ordinate maksimuma i minimuma nazivaju se
$\textbf{ekstremne vrednosti}$ funkcije na $\mathbb{A}$. Tako je za funkciju $y = x^{2} - 4x +3$ ekstremna vrednost $y = -1$ u tački $x=2$.
Sada ćemo pokazati da kvadratna funkcija ima minimum, odnosno maksimum. Neka je data kvadratna funkcija $$y = ax^{2} + bx +c, ~~ a \neq 0.$$
Kako za svako $x$ važi: $$ax^{2} + bx +c = a(x+ \frac{b}{2a})^{2} - \frac{b^{2}-4ac}{4a},$$ onda kvadratnu funkciju $y = ax^{2} + bx +c$ možemo napisati u
takozvanom $\textbf{kanonskom obliku}$: $$y = a(x+ \frac{b}{2a})^{2} - \frac{b^{2}-4ac}{4a}.$$
$ ~ ~ ~ \underline{\textbf{Primer 2.}}$
Da bismo odredili ekstremne vrednosti kvadratne funkcije, koristićemo njen kanonski oblik $$y = a(x+ \frac{b}{2a})^{2} - \frac{b^{2}-4ac}{4a}.$$
Razlikovaćemo 2 slučaja: $~ (1^{\circ})~~ a>0 ~~$ i $ ~~(2^{\circ}) ~~a<0$.
$(1^{\circ})$ Za $a>0$ izraz $a(x+ \frac{b}{2a})^{2}$ je nenegativan broj za sve vrednosti promenljive $x \in \mathbb{R}$, a za $x = -\frac{b}{2a}$ ima najmanju vrednost
koja je jednaka nuli. Tako imamo da je vrednost izraza: $$a(x+ \frac{b}{2a})^{2} - \frac{b^{2}-4ac}{4a}$$
najmanja ako je $x = -\frac{b}{2a}$ i iznosi $-\frac{b^{2}-4ac}{4a}$, odnosno $ \frac{4ac-b^{2}}{4a}$.
Dakle, kvadratna funkcija $y = ax^{2}+bx+c ~~(a>0)$ ima za $x = -\frac{b}{2a}$ minimalnu vrednost $y = \frac{4ac-b^{2}}{4a}$.
$(2^{\circ})$ Za $a<0$ izraz $a(x+ \frac{b}{2a})^{2} \leq 0$ za sve vrednosti promenljive $x \in \mathbb{R}$, a za $x = -\frac{b}{2a}$ ima najveću vrednost
koja je jednaka nuli. Tako imamo da je vrednost izraza: $$a(x+ \frac{b}{2a})^{2} - \frac{b^{2}-4ac}{4a}$$
najveća ako je $x = -\frac{b}{2a}$ i iznosi $-\frac{b^{2}-4ac}{4a}$, odnosno $ \frac{4ac-b^{2}}{4a}$.
Dakle, kvadratna funkcija $y = ax^{2}+bx+c ~~(a<0)$ ima za $x = -\frac{b}{2a}$ maksimalnu vrednost $y = \frac{4ac-b^{2}}{4a}$.
$\triangleleft ~ \textbf{Intervali rasta i opadanja.}$ Posmatrajmo ponovo funkciju $x^{2} - 4x +3$ koja ima minimum za $x=2$. Uzmimo bilo koja dva broja manja
od $2$ (na primer $1$ i $0$) i izračunajmo vrednost funkcije za tako odabrane brojeve ($f(1) = 0, ~ f(-1) = 8$). Možemo uočiti da je $-1 < 1 < 2$ i
da je $f(-1)=8>0=f(1)$.
Dakle, uočavamo da za vrednosti promenljive $x$ manje od $2$ važi: $~$ako je $ u < v < 2$, onda je $ f (u) > f(v)$.
U ovom slučaju kažemo da funkcija $f(x)=x^{2}-4x+3$ opada za $x<2$ (a to su svi realni brojevi manji od $2$).
Takođe, lako je uočiti da iz $ 2 < u < v$ sledi $f(u) < f(v)$. U ovom slučaju kažemo da funkcija $f(x) = x^{2} - 4x +3$ raste za $x>2 ~$(tj. za sve
realne brojeve $x$ veće od $2$).
Posmatrajmo skup svih realnih brojeva između dva data realna broja $s$ i $t$, tj. skup $ \{ x \in \mathbb{R}| ~ s < x < t \}$. Taj skup se zove
$ \textbf{otvoren interval}$ i označava se sa $ (s, t) $. Na primer, $(1,3)$ označava sve realne brojeve veće od $1$, a manje od $3$.
Kažemo da funkcija $f ~\textbf{raste}$ na otvorenom intervalu $(s, t)$ ako za svako $ u, v \in (s, t)$ važi: iz $ u < v$ sledi $ f(u) < f(v)$.
Kažemo da funkcija $f ~\textbf{opada}$ na otvorenom intervalu $(s, t)$ ako za svako $ u, v \in (s, t)$ važi: iz $ u < v$ sledi $ f(u) > f(v)$.
Pokazaćemo da za kvadratnu funkciju $f(x) = ax^{2} + bx +c $ postoji otvoren interval nad kojim raste i otvoren interval nad kojim opada.
$\textbf{Teorema. (I)}~~$ Ako je $a>0$ onda na intervalu $(-\infty, -\frac{b}{2a})$ kvadratna funkcija opada, a na intervalu
$(-\frac{b}{2a}, \infty)$ raste.
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \textbf{(II)}~$ Ako je $a<0$ onda na intervalu $(-\infty, -\frac{b}{2a})$ kvadratna funkcija opada, a na intervalu
$( -\frac{b}{2a}, \infty)$ raste.
$\triangleleft ~ \textbf{Grafik kvadratne funkcije.}$ Posmatrajmo ponovo funkciju $y = x^{2} - 4x +3$. Tablica njenih vrednosti za neke vrednosti
promenljive $x$ je:
$$x$$
$$-1$$
$$0$$
$$1$$
$$2$$
$$3$$
$$4$$
$$5$$
$$y$$
$$8$$
$$3$$
$$0$$
$$-1$$
$$0$$
$$3$$
$$8$$
Funkcija $y = x^{2} - 4x +3$ ima nule za $x = 1$ i $x=3$. Njen presek sa $y$-osom je u tački $A (0,3)$, a teme joj je u tački $T(2,-1)$.
Ona opada u intervalu $(-\infty, 2)$, a raste u intervalu $(2, \infty)$.
Prikazaćemo tačkama u koordinatnom sistemu $xOy$ tablicu njenih vrednosti. Ako spojimo te tačke dobićemo približni grafik kvadratne funkcije.
Kriva koju smo približno skicirali, naziva se $\textbf{parabola}$. Uopšte, grafik kvadratne funkcije je kriva linija koja se zove $\textbf{parabola}$.
Tačka $T$ zove se $\textbf{teme}$ parabole.
$\triangleleft ~ \textbf{Simetricnost grafika kvadratne funkcije.}~$ Uočimo ponovo kvadratnu funkciju $y = x^{2} - 4x +3$ i tablicu njenih
vrednosti. Iz nje možemo primetiti da za neke vrednosti $x$ funkcija $f(x) = x^{2} - 4x +3$ ima istu vrednost.
Tako je $f(-1) = f(5) = 8; ~f(0) = f(4) = 3; ~f(1) = f(3) = 0 ~$ . Primećujemo da su apscise tačaka ovih vrednosti promenljive $x$
simetrične u odnosu na tačku čija je apscisa $2$ , a to je apscisa temena parabole.
Dokazaćemo da važi: $$f(2 - t) = f(2 + t), ~~ t \in \mathbb{R}.$$
Kako je $f(x) = x^{2} - 4x +3 = (x-1)^{2} +1$, sledi: $$f(2 - t) = (2-t-2)^{2} +1 = t^{2} + 1$$
$$f(2 + t) = (2+t-2)^{2} +1 = t^{2} + 1,$$ pa je $f(2 - t) = f(2 + t).$
Uočimo sada na grafiku funkcije tačke sa koordinatama $(2-t, f(2-t))$ i $(2+t, f(2+t)).$ Te tačke su simetrične jedna na drugu u odnosu na
pravu $s$ koja prolazi kroz teme kvadratne funkcije i paralelna je osi $Oy$. Ta prava $s$ naziva se $\textbf{osa}$ parabole.
Tako su na slici 2 tačke $A, B, C$ simetrične tačkama $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ u odnosu na pravu $s$.
$\textbf{Teorema.}~~$ Grafik kvadratne funkcije simetričan je u odnosu na pravu koja prolazi kroz teme, a paralelan je sa osom $Oy$.
$ *\textit{Dokaz}.$
Treba pokazati da će tačke $(-\frac{b}{2a}-t,f(-\frac{b}{2a}-t)), ~ (-\frac{b}{2a}+t,f(-\frac{b}{2a}+t))$, čije su apscise simetrične u
odnosu na apscisu temena $(-\frac{b}{2a})$, imati iste ordinate i da za $t \in \mathbb{R}$ važi:
$$f(-\frac{b}{2a}-t) = f(-\frac{b}{2a}+t).$$
Kako je $f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^{2} - \frac{b^{2}-4ac}{4a},$ to je:
$$f(-\frac{b}{2a}-t) = a(-\frac{b}{2a}-t+\frac{b}{2a})^{2} - \frac{b^{2}-4ac}{4a} = \sqrt{a}~ t^{2} - \frac{b^{2}-4ac}{4a}$$
$$f(-\frac{b}{2a}+t) = a(-\frac{b}{2a}+t+\frac{b}{2a})^{2} - \frac{b^{2}-4ac}{4a} = \sqrt{a}~ t^{2} - \frac{b^{2}-4ac}{4a}.$$
Dakle važi:
$$f(-\frac{b}{2a}-t) = f(-\frac{b}{2a}+t),~~ t \in \mathbb{R}. $$
$\triangleleft ~ \textbf{Znak kvadratne funkcije.}~$ Znak kvadratne funkcije $y = a x^{2} + bx +c$ zavisi od vrednosti promenljive $x$ i od koeficijenata
$a, b, c.$ Značajnu ulogu u određivanju znaka kvadratne funkcije imaju sledeće ekvivalencije:
$$A \cdot B > 0 \Longleftrightarrow (A>0 \wedge B>0) \vee (A<0 \wedge B<0)$$
i
$$A \cdot B < 0 \Longleftrightarrow (A>0 \wedge B<0) \vee (A<0 \wedge B>0)$$
Razlikujemo 3 slučaja:
$~~$ $1^{\circ}$ slučaj (D<0). $~$ Kako je $D=b^{2} - 4ac <0$, tada je $-\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}>0$.
Dalje, kako je $y = a((x+\frac{b}{2a})^{2} - \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}})$ to je izraz $(x+\frac{b}{2a})^{2} - \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}>0,$
pa kvadratna funkcija u ovom slučaju $(D<0)$ ima isti znak kao i koeficijent $a$ za sve $x \in \mathbb{R}$.
Posmatrajmo kvadratnu funkciju $y = x^{2} + x +1$. Ovde je $D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 <0$ i $a=1>0$. Dakle, ova fuknkcija je za sve $x \in \mathbb{R}$
pozitivna. kako izgleda grafik funkcije $f(x) = x^{2} + x +1$.
Posmatrajmo kvadratnu funkciju $y = -2x^{2} - 1$. Ovde je $D = 0^{2} - 4 \cdot (-2) \cdot (-1) = -8 <0$ i $a=-2<0$. Dakle, ova fuknkcija je za sve
$x \in \mathbb{R}$ negativna. kako izgleda grafik funkcije $f(x) = -2x^{2} -1$.
$~~$ $2^{\circ}$ slučaj (D=0). $~$ U ovom slučaju kvadratna funkcija je $y = a(x+\frac{b}{2a})^{2}$. Kako je$ (x+\frac{b}{2a})^{2} > 0$ za sve
$x \neq - \frac{b}{2a}$ onda je znak kvadratne funkcije za $x \neq - \frac{b}{2a}$ jednak znaku koeficijenta $a$.
Posmatrajmo kvadratnu funkciju $y = 3x^{2} $. Ovde je $D = 0^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 0 = 0$ i $a=3>0$. Ova funkcija je pozitivna za sve $x \neq 0$. kako izgleda grafik funkcije $f(x) = 3x^{2} $.
Posmatrajmo kvadratnu funkciju $y = -x^{2} $. Ovde je $D = 0^{2} - 4 \cdot (-1) \cdot 0 = 0$ i $a=-1<0$. Ova funkcija je negativna za sve $x \neq 0$.
kako izgleda grafik funkcije $f(x) = -x^{2} $.
$~~$ $3^{\circ}$ slučaj (D>0). $~$ Posmatrajmo ponovo kvadratnu funkciju $y = x^{2} - 8x + 7$ i prikažimo je u obliku: $y = (x-1)(x-7)$.
Znak ove funkcije zavisi od činilaca $x-1$ i $x-7$. Ako je $x<1$ onda je $x<7$, pa je proizvod $(x-1)(x-7)>0$. Dakle, funkcija je pozitivna za $x<1$.
Ona je takođe pozitivna za $x>7$. Naime, ako je $x>7$, onda je i $x>1$. Tako imamo da je $(x-1)(x-7)>0$.
Međutim, ako je $ 1 < x < 7$, onda je $ x-1>0 $ a $ x-7<0 $, pa je $ (x-1)(x-7)<0 $. Dakle, za one $x$ za koje je $ 1 < x < 7 $ funkcija
ima negativnu vrednost, odnosno nalazi se ispod $ Ox $ ose.
Proučimo znak kvadratne funkcije $y = ax^{2}+bx+c$ kada je $D=b^{2}-4ac>0$. Ovu funkciju možemo posmatrati u obliku $$y = a(x-x_{1})(x-x_{2}),$$
gde su $x_{1}$ i $x_{2}$ koreni (nule) kvadratne jednačine $ax^{2}+bx+c = 0$. Neka je na primer $x_{1} < x_{2}$. Tada znak funkcije $y = ax^{2}+bx+c$
zavisi od znaka svih činilaca, tj. od $a$, $(x-x_{1})$ i $(x-x_{2})$. Ako je $x < x_{1}$, onda je i $x < x_{2}$ pa je proizvod $(x-x_{1})(x-x_{2})$
pozitivan.
Isto tako, ako je $x > x_{2}$, onda je i $x > x_{1}$ pa važi $x - x_{1} > 0$ i $x - x_{2} > 0$, pa je $(x-x_{1})(x-x_{2}) > 0$.
Međutim, ako je $x_{1} < x < x_{2}$, onda je $x-x_{1} > 0$, a $x-x_{2} < 0$ pa je $(x-x_{1})(x-x_{2}) < 0$.
Zaključak, ako je $D > 0$, znak kvadratne funkcije $y = ax^{2}+bx+c$ ima znak koeficijenta $a$, osim za vrednosti $x$ koje su između
korena kvadratne jednačine, $x_{1}$ i $x_{2}$.