|
|
Diskriminanta
Priroda rešenja kvadratne jednačine
|
Videli smo da kvadratna jednačina ax+bx+c+0, gde su a, b, c realni koeficijenti može imati dva različita realna rešenja, dva realna jednaka rešenja ili par konjugovano kompleksnih rešenja. Priroda rešenja zavisila je od izraza
$D=b^2-4ac$
koji se pojavljuje pod korenom u formuli za nalaženje rešenja kvadratne jednačine.
|
Definicija: Diskriminanta kvadratne jednačine $ax^2+bx+c=0$ je izraz $D=b^2-4ac$.
Koristeći se diskriminantom kvadratne jednačine, formulu za nalaženje njenih rešenja možemo napisati u obliku $x_{1,2}=\frac{-b+-\sqrt{D}}{2a}$
Iz prethodnih razmatranja sledi da važi:
Teorema: Za kvadratnu jednačinu
$ax^2+bx+c=0$
sa realnim koeficijentima važi:
- jednačina ima dva različita realna rešenja ako i samo ako je $D=b^2-4ac>0$
- jednačina ima jedno dvostruko realno rešenje ako i samo ako je $D=b^2-4ac=0$
- jednačina ima jedan par konjugovano kompleksnih rešenja ako i samo ako je $D=b^2-4ac<0$
|
|
|
|
Primer: Ispitati prirodu rešenja kvadratne jednačine
$(n+3)x^2 – 2(n+1)x + n-5 =0$
u zavisnosti od realnog parametra n.
Da bi to bila kvadratna jednačina potrebno je da n bude različito od $-3(n≠-3)$.Sada izračunajmo diskriminantu ove jednačine.Nalazimo:
$D=[-2(n+1)]^2-4(n+3)(n-5)=16n^2 +64=16(n+4)$.
1. Data jednačina ima dva realna rešenja ako i samo ako je $n >-4$ i $n≠-3$.
2. Data jednačina ima jedno realno (dvostruko) rešenje ako i samo ako je $n =-4 $.
3. Data jednačina ima jedan par konjugovano kompleksnih rešnja ako i samo ako je
$n <-4$ .
|
dalje
|