2MathEBook

Kvadratna jednačina i kvadratna funkcija

Jednačina pomerene parabole (i po x-osi i po y-osi)


Posmatrajmo funkciju

$y=ax^2+bx+c$

gde su $a$,$b$,$c$ realni brojevi i $a$ različito od nule.

Transformisaćemo kvadratni trinom na kanonski oblik

$y=ax^2+bx+c=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}]$
$=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}]$

ako uvedemo da je $x_{0}=-\frac{b}{2a}$ , $y_{0}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

dobićemo $y=a(x-x_{0})^2+y_{0}$ što je tzv. kanonski oblik

Tačka $T=(x_{0},y_{0})$ je teme parabole.

Postupak za pomeranje funkcije

Datu funkciju $y=ax^2+bx+c$ najpre svedemo na kanonski oblik $y=a(x-x_{0})^2+y_{0}$

Nacrtamo grafik $y=ax^2$

Izvršimo pomeranje (transliranje) duž x-ose za $x_{0}$
Ako je $-x_{0}$ funkciju pomeramo za $x_{0}$ udesno po x-osi
Ako je $+x_{0}$ funkciju pomeramo za $x_{0}$ ulevo po x-osi

Izvršimo pomeranje (transliranje) duž y-ose za $y_{0}$
Ako je $y_{0}>0$ "podižemo" grafik po y-osi
Ako je $y_{0}<0$ "spuštamo" grafik po y-osi


Primer

$y=\frac{1}{2}x^2-4x+6$

kanonički oblik:

$y=a(x-x_{0})^2+y_{0}$

$x_{0}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\frac{1}{2}}=4$

$y_{0}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\frac{1}{2}6-(-4)^2}{4\frac{1}{2}}=\frac{12-16}{2}=-2$

$T=(4,-2)$

$y=\frac{1}{2}(x-4)^2-2$
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)


Copyright © Matf