Ugao je deo ravni oivičen sa dve poluprave koje imaju zajednički početak.
Ugao zahvataju dve
koje imaju zajedničku tačku
Poluprave koje zahvataju ugao nazivaju se kracima igla, zajedniča početna tačka polupravih je teme ugla $O$.
Do sada ste kao jedinicu merenja ugla koristili isključivo stepene ( 1$^{0}$$ =\frac{1}{360^{0}}$ ).
Stepenom se mogu meriti ne samo uglovi već i kružni lukovi. Centralni ugao koji odgovara datom kružnom luku i
njegova mera izražena u stepenima poistovećuje se s' merom kružnog luka. Međutim ako se pokuša obratno,
da se centralni ugao meri dužinom kružnog luka, nailazi se na teškoće.
Postavlja se pitanje zašto je to tako? Možemo zaključiti da jednom istom centralnom uglu odgovarju neogranično
mnogo kružnih lukova različite dužine, koji svi imaju meru u stepenima.
Sada se javlja dilema dužinu kojeg kružnog luka uzeti za meru zajedničkog centralnog ugla!?
Opredeljuje se za dužinu luka
$ A_0B_0$ čiji je poluprečnik jednak 1.
Želiši da vidis aplet.
Jedinica mere u ovom slučaju je luk čija je dužina jednaka 1. Taj kružni luk zove se radijan.
Ugao koji odgovara luku od jednog radijana ima isti naziv - radijan.
Radijam koristimo i kao jednicu za merenje uglova.
Ugao ima onoliko radijana koliko ih ima odgovarajući kružni luk $ A_0B_0$ poluprečnika 1.
Na prethodnoj slici prestavljen je ugao od 57$^{0}$ tj. približno 1 radijan.
Klikom na dugme koje se nalazi u donjem levom uglu apleta možete posmatrati ugao $\alpha$ koji pripada intervalu [0$^{0}$, 57$^{0} $ ].
Primer 1. Izraziti u radijanima ugao čija je mera u stepenima:
a) 180$^{0}$; $\qquad $ b) 50$^{0}$;$\qquad $ c) 72$^{0}$ 35 $′$; $\qquad $ d) 100$^{0}$ 11$′$; 15$″$.
Rešenje:
a) 30$^{0}= $ 30 $\cdot \frac{π}{180}= \frac{ π}{6}$ $≈$ 0,9 ;
b) 50$^{0}= $ 50 $\cdot \frac{π}{180}= \frac{5 π}{18}$ $≈$ 0,9 ;
c) Uzimajući u obzir da je 1$′ =$ 1$^{0}$ $\cdot \frac{1}{60}$ dobija se: $\qquad $
72$^{0}$ 35 $′ =$ 72 $\cdot\frac{π}{180}$ $+$ 35 $ \cdot\frac{1}{60}\cdot\frac{π}{180}$ $≈$ 1,2;
d) Kako je 1$″=$ 1$^{0}$ $\cdot \frac{1}{3600} $ biće: $\qquad $
100$^{0}$ 11$′$ 15$″=$ 100 $\cdot\frac{π}{180}+$ 11 $\cdot\frac{1}{60}\cdot\frac{π}{180}$ $≈$ 1,7.
Primer 2. Izraziti u stepenima ugao čija je radijanska mera:
a) 0,2; $\qquad $ b) $\frac{π}{3}$; $\qquad $ c) 1, 35; $\qquad $ d) $\frac{5π}{12}$.
Standardna definicija po kojoj ugao čine dve poluprave sa zajedničkim početkom, nije pogodna za operacije sabiranja i oduzimanja uglova.
Pod operacijama sabiranja i oduzimanja uglova podrazumevamo sabiranje i oduzimanje mernih brojeva tih uglova.
Kao rezultat sabiranja i oduzimanja mogu se javiti i uglovi veći od 360$^{0}$, a isto tako i negativni uglovi.
Između ostalog to je jedan od razloga da se pomenuta definicija proširi i pojam ugla uopšte.
Ako uočimo jednu promenljivu polupravu koja može da se obrće oko početne taćke $O$, pri obrtanju razlikujemo dva smera:
pozitivan - smer obrnut smeru kazaljki na satu i negativan -smer kretanja kazaljki na satu.
Želiši da vidis aplet.
Obeležimo sa $a$ početak i sa $b$ odnosno sa $c$ završni položaj polupravih nakon obrtanja oko taćke $O$ u jednom ili drugom smeru.
$∠ab $ zovemo orijentisan ugao.
Na prethodnoj slici možemo uočiti da se poluprava $a$ okrenula u pozitivnom smeru, orijentisam ugao $\alpha $ je pozitivan.
U suprotnom ugao $\beta$ je negativan, krak ovog ugla - $c$ se okreće oko temena ugla $O$ u smeru pomeranja kazaljki na satu.
Ukoliko pritisnete dugme u levom uglu apleta, možete uočiti kako se pomeraju poluprave $b$ i $c$.
Mera orijentisanog ugla izražava se odgovarajućim jedinicama (stepenima, radijanama ili nekim drugim) sa pridruženim znakom $+$ ili $-$
u zavisnosti od toga da li je ugao pozitivan ili negativan.
Na sledećim slikama prikazani su orijentisani uglovi od 210$^{0}$, 360$^{0}$, 405$^{0}$, -45$^{0}$, -20$^{0}$ i -225$^{0}$.
Želiši da vidis aplet.
Želiši da vidis aplet.
Pri obeležavanju krakova orijentisanog ugla značajno je poredak zapisivanja. Tako je $∠ab = -∠ba $.
Za svaki orijentisan ugao α postoji ugao α$_0$, 0 $\le$ α$_0$ $\le$ 2π takav da je:
α= α$_0$ + 2$k$π
za neki ceo broj k. Ugao α$_0$ zove se osnovni ugao. Neograničeno je mnogo uglova koji imaju jedan te isti osnovni ugao.
Uvođenjem pojma orijentisanog ugla i radijanske mere dobija se jedna obostrana jednoznačna korespodencija između
skupa realnih brojeva i skupa svih orijentisanih uglova. Svakom realnom broju pridružuje se orijentisani ugao čija je radijanska mera
jednaka tom broju.
Primer 3. Odredi osnovne uglove za sledeće orijentisane uglove:
a) 3,$\qquad $ b) $\frac{π}{18}$, $\qquad $ c) $\frac{π}{12}$,$\qquad $ d) $\frac{π}{4}$,$\qquad $ e) $\frac{7π}{12}$, c) 2, 31.
3. Izrazi u radijanima osnovni ugao za sledeći ugao:
a) -30$^{0}$, $\qquad $ b) -45$^{0}$, $\qquad $ c) -120$^{0}$, $\qquad $ d) 270 $^{0}$, $\qquad $ d) -360 $^{0}$ .
4. Izrazi u stepinima osnovni ugao za ugao:
a) -$\frac{3π}{2}$, $\qquad $ b) -$\frac{π}{10}$,$\qquad $ c) -$\frac{11π}{8}$, $\qquad $
d) $\frac{9π}{2}$, $\qquad $ e) -$\frac{7π}{18}$.
5. Ako je $\alpha$ = $\frac{9π}{6}$, $ \beta$ = -225$^{0}$, $\gamma$ = -$\frac{3π}{2}$ .
odrediti osnovne uglove za :