Trigonometrijske funkcije oštrog ugla definišu se, kao što znamo, preko odnosa stranica pravouglog trougla. Za definiciju trigonometrijskih funkcija
proizvoljnog ugla (ne samo oštrog već i većeg od oštrog, a isto tako i nula, i negativnog ugla) koristi se tzv. trigonometrijska kružnica.
je kružnica čiji je poluprečnik jednak $1$, a centar
joj se nalazi u koordinatnom početku.
Tačka $A$ sa koordinatama $(1,0)$ , koja pripada trigonometrijskoj kružnici naziva se početna tačka . Posmatrajmo na trigonometrijskoj
kružnici različite lukove koji svi počinju u tački $A$. Luk koji obilazimo u pozitivnom smeru (to je smer suprotan kretanju kazaljke na satu)
počevši iz tačke $A$, zovemo pozitivan luk . Ako je smer obilaska negativan, takav luk zovemo negativan luk. Mera ovako definisanih orijentisanih
lukova predstavljena je njihovom dužinom sa znakom $+$ za pozitivne i znakom $-$ za negativne lukove. Pogledajmo neke primere pozitivnih i negativnih lukova.
Sa $\phi$ je označena njihova mera.
Na ovaj način se svakom orijentisanom luku dodeljuje jedan realan broj i obrnuto, svakom realnom broju može da se dodeli jedan orijentisani luk.
Ti brojevi su zapravo mere orijentisanih lukova. S obzirom da je obim trigonometrijskog kruga jednak $2 \pi $, realnim brojevima većim od $2 \pi $ i
realnim brojevima manjim od $ -2 \pi $ odgovaraju lukovi veći od punog kruga.
Ako je dat
$\widehat{AM}$, onda vektori $\overrightarrow{OA}$
i $\overrightarrow{OM}$
obrazuju
$\alpha$ koji njemu odgovara.
Važi i obrnuto. Svakom orijentisanom uglu $ \angle (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM}) $ odgovara orijentisan luk $\widehat{AM}$ na
trigonometrijskom krugu. Mera luka $\widehat{AM}$ jednaka je radijanskoj meri ugla $\angle (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM})$. Vektor
$\overrightarrow{OM}$ naziva se radijus vektor ugla.
Primer 1. Predstavimo na trigonometrijskom krugu orijentisane uglove:
a) $\alpha = 135^{\circ}$
c) $\beta = 270^{\circ}$
b) $\gamma = -45^{\circ}$
d) $\delta = 390^{\circ}$
Za orijentisan ugao $\alpha = \angle (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM})$ kažemo da je u $I$ kvadrantu ako krak $OM$
leži u prvom kvadrantu. Slično se definiše ugao iz $II$, $III$ i $IV$ kvadranta. Ako je $0 \leq \alpha \leq 2 \pi$, tada:
$1^{\circ}$ u $I$ kvadrantu je $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$
$2^{\circ}$ u $II$ kvadrantu je $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$
$3^{\circ}$ u $III$ kvadrantu je $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$
$4^{\circ}$ u $IV$ kvadrantu je $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2 \pi$
Uglovi $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3 \pi}{2}$ su granični uglovi i uzima se da nisu ni u jednom kvadrantu.
U slučaju da je ugao veći od $2 \pi$ ili da je negativan, njegov položaj u odnosu na kvadrante određen je položajem
njegovog osnovnog ugla.
Primer 2. U kojem kvadrantu se nalaze sledeći uglovi:
a) $\alpha = 750^{\circ}$
c) $\beta = 1240^{\circ}$
b) $\gamma = -130^{\circ}$
d) $\delta = -450^{\circ}$
Rešenje:
a) $750^{\circ} = 30^{\circ} + 2 \cdot 360^{\circ}; ~ \alpha $ je u $I$ kvadrantu, kao i osnovni ugao od $30^{\circ}$.
b) $1240^{\circ} = 160^{\circ} + 3 \cdot 360^{\circ}; ~ \beta $ je u $II$ kvadrantu.
c) $-130^{\circ} = 230^{\circ} + (-1) \cdot 360^{\circ}; ~ \gamma $ je u $III$ kvadrantu.
d) $-450^{\circ} = 270^{\circ} + (-2) \cdot 360^{\circ}; ~ \delta $ je granični ugao.