|
|
Kosinusna teorema
Najpre se podsetimo Pitagorine teoreme koja glasi: "Zbir kvadrata nad katetama jednak je kvadratu hipotenuze". Ili matematički zapisano : $a^2+b^2=c^2$.
Na apletu 1. prikazan je trougao $ABC$.
Hajde da izrazimo visinu $h_c$.
Pitagorinu teoremu prvo ćemo primeniti na trougao $ACD$, a zatim na trougao $BCD$. Visina $h_{c}$ je izražena na sledeći način:
|
Posmatrajmo aplet 2. Imamo da je:
|
|
|
$a^2 = {h_{c}}^2 + (c+x)^2$
$=(b\sin\alpha_{1})^2 + (c + b\cos\alpha_{1})^2$
$= b^2\sin^2\alpha_{1} + c^2 + 2bc\cos\alpha_{1} + b^2{\cos^2}\alpha_{1}$
$= b^2(\sin^2\alpha_{1} + \cos^2\alpha_{1}) + c^2 + 2c\cos(180^0-\alpha_{1})$
$=b^2+c^2 -2bc\cos\alpha$.
|
Napomena:
Umesto visine $h_{c}$ na isti način mogli smo da izrazimo visine $h_{a}$ i $h_{b}$. Dobili bismo, redom:
$b^2=a^2+c^2 -2ac\cos\beta$,
$c^2=a^2+b^2 – 2ab\cos\gamma$.
Sve ovo možemo rezimirati jednom teoremom - kosinusnom teoremom, koja glasi:
Neka su $a,b,c$ dužine stranica i $\alpha$, $\beta$,$\gamma$ veličine odgovarajućih unutrašnjih uglova trougla $ABC$. Tada važi:
$a^2=b^2+c^2 -2bc\cos\alpha$.
$b^2=a^2+c^2 -2ac\cos\beta$,
$c^2=a^2+b^2 – 2ab\cos\gamma$.
Ako se u prvoj relaciji ugao $\alpha$ zameni vrednošću od $\pi/2$, šta onda predstavlja ta relacija?
Odgovor je: Pitagorina teorema!
Kosinusnu teoremu možemo primeniti u dva slučaja rešavanja trougla:
1. Ako su mu date dve stranice i ugao između njih;
2. Ako su mu date sve tri stranice trougla.
|
|