Grafik funkcije $y=tg x$ i $y=ctg x$
Funkcija $tg x$ na intervalu $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ ima sledeće osobine:
- definisana je za svako $x$ izuzev $x=-\frac{\pi}{2}$ i $x=\frac{\pi}{2}$.
Za $x\to -\frac{\pi}{2}+0$$\space$ $tg x \to -\infty$, a za $x \to \frac{\pi}{2}-0$ $\space$ $tg x \to+\infty$;
- skup vrednosti funkcije $tg x$ za $x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ je ceo skup $R$, tj. $(-\infty,+\infty)$.To znači da nije ograničena;
- nula funkcije je $x=0$;
- $tg x<0$ za $-\frac{\pi}{2} < x < 0$, i $tg x > 0$ za $0 < x < \frac{\pi}{2}$;
- stalno raste.
Kako je $tg x$ periodična funkcija sa osnovnim periodom $\pi$, dovoljno je nacrtati grafik na intervalu
$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$.
Ostatak se dobija translacijama duž $x$-ose za $k\pi$ $(k=0,\pm1,\pm2,...)$.
Opet treba, radi veće preciznosti, koristiti trigonometrijski krug. Tačke $M_{0},M_{1},M_{2},...,M_{6}$ dele polukrug
na šest jednakih delova.
Apscise tačaka $T_{0},T_{1},T_{2},T_{4},T_{5}$ jednake su merama orijentisanih lukova
$\widehat{AM_{0}},\widehat{AM_{1}},\widehat{AM_{2}},\widehat{AM_{4}},\widehat{AM_{5}}$, a ordinate ordinatama tačaka
$N_{0},N_{1},N_{2},N_{4},N_{5}$.
Prema tome, koordinate tačaka $T_{0},T_{1},T_{2},T_{4},T_{5}$ su $(0, tg 0)$,
$(\frac{\pi}{6},tg \frac{\pi}{6})$, $(\frac{2\pi}{6},tg \frac{2\pi}{6})$, $(-\frac{\pi}{6}, tg(-\frac{\pi}{6}))$,
$(-\frac{2\pi}{6},tg(-\frac{2\pi}{6}))$. Spajanjem tačaka $T_{0},T_{1},T_{2},T_{4},T_{5}$ dobija se deo grafika funkcije $y=tg x$
nad intervalom
$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ (slika)
Kada se vrednost argumenta $x$ približava $-\frac{\pi}{2}$ sa većih vrednosti, $x\to-\frac{\pi}{2}+0$,
tada se $tg x$ neograničeno smanjuje
i grafik se sa donje strane primiče vertikalnoj pravoj $y=-\frac{\pi}{2}$. Ta prava je asimptota funkcije $y=tg x$.
Slična je situacija kada $x\to\frac{\pi}{2}-0$. Tada je $tg x\to +\infty$ i prava $y=\frac{\pi}{2}$ je takođe asimptota.
Kompletan grafik dobija se translacijama grafika sa slike u pravcu $x$-ose za $k\pi$ $(k=0,\pm1,\pm2,...)$ i sastoji
se
od beskonačno mnogo podudarnih krivih. Jedan deo toga grafika prikazan je na slici.
Grafik funkcije $tg x$ naziva se tangensoida.
$\space$$\space$$\space$$\space$$\space$$\space$ Sledeće osobine funkcije $y=tg x$ očitavaju se sa grafika.
- Funkcija je definisana za svako $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$ $(k=0,\pm1,\pm2,...)$, tj. domen je
$R\backslash\lbrace\frac{\pi}{2}+k\pi|k=0,\pm1,\pm2,...\rbrace$.
- Prave $y=\frac{\pi}{2}+k\pi \space (k=0,\pm1,\pm2,...)$ su vertikalne asimptote.
- $tg x$ je periodična funkcija sa osnovnim periodom $\pi$.
- Grafik je centralno simetričan u odnosu na koordinantni početak 0, $tg (-x)=-tg x$ tj. $tg x$ je neparna
funkcija.
- $tg x$ je neograničena funkcija i njen kodomen je $(-\infty,+\infty)$.
- Nule funkcije su $x=k\pi\space(k=0,\pm1,\pm2,...)$.
- Nema ni maksimalnih ni minimalnih vrednosti.
- $tg x$ stalno raste.
- $tg x > 0$ za $x\in(k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi)$, a $tg x < 0$ za $x\in(-\frac{\pi}{2}+k\pi,k\pi)\space(k=0,\pm1,\pm2,...)$.
$\space$$\space$$\space$$\space$$\space$$\space$Grafik funkcije $y=ctg x$ na intervalu $(0,\pi)$ dobija se na sličan način
korišćenjem trigonometrijskog kruga i
kotangensne ose (slika).
Koordinate tačaka $C_{0},C_{1},C_{2},C_{4},C_{5}$
su
$(\frac{\pi}{6},ctg\frac{\pi}{6})$, $(\frac{2\pi}{6},ctg\frac{2\pi}{6})$,$(\frac{\pi}{2},ctg\frac{\pi}{2})$, $(\frac{4\pi}{6},ctg\frac{4\pi}{6})$,
$(\frac{5\pi}{6},ctg\frac{5\pi}{6})$, redom.
$\space$$\space$$\space$$\space$$\space$$\space$ S obzirom da je $ctg x$ periodična funkcija sa osnovnim periodom
$\pi$, kompletan grafik, koji se sastoji od beskonačno
mnogo podudarnih krivih, dat je delimično na slici.
Grafik funkcije $y=ctg x$ naziva se kotangensoida.
$\space$$\space$$\space$$\space$$\space$$\space$ Sledeće osobine funkcije $y=ctg x$ slede sa grafika.
- Funkcija je definisana za svako $x\neq k\pi\space(k=0,\pm1,\pm2,...)$, tj. njen domen je $R\backslash\lbrace k\pi|k=0,\pm1,\pm2,...\rbrace$.
- Prave $y=k\pi\space(k=0,\pm1,\pm2,...)$ su vertikalne asimptote.
- $ctg x$ je periodična funkcija sa osnovnim periodom $\pi$.
- Grafik je centralno simetričan u odnosu na koordinatni početak $O$, $ctg(-x)=-ctg x$, tj. $ctg x$ je neparna funkcija.
- $ctg x$ je neograničena funkcija i njen kodomen je $(-\infty,+\infty)$.
- Nule funkcije su $x=\frac{\pi}{2}+k\pi \space (k=0,\pm1,\pm2,...)$.
- Nema ni maksimalnih ni minimalnih vrednosti.
- $ctg x$ stalno opada.
Primer$\space$ Koristeći grafik funkcije $y=tg x$ i $y=ctg x$ nacrtati grafik funkcija:
- $y=tg x + 1$
- $y=ctg x - 1$
- $y=-tg x$
- $y=-ctg x + 1$
- $y=|tg x|$
|