Trigonometrijske funkcije tipa $y=2 \sin x$, $y=5 \sin2x$, $y=\sin(2x - 3)$ i slične javljaju se u fizici kod tzv. harmonijskih oscilacija. Zbog velike važnosti njima će biti i posvećen ovaj odeljak.
Sve ove funkcije, možemo obuhvatiti izrazom $y=a \sin(bx + c)$, gde su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi, pri čemu je $a\neq 0$ i $b>0$. Na primer, za funkciju $y= \sin(x + 2)$ je $a=1$, $b=1$, $c=2$, dok je za $y=2\sin3x$, $a=2$, $b=3$, $c=0$. Funkcija $y=2 \sin(5 - 2x)$ je takođe obuhvaćena jer je $2 \sin(5 - 2x)=-2 \sin(2x - 5)$.
Periodičnost funkcije $y=a \sin(bx + c)$ sledi direktno iz periodičnosti sinusne funkcije. Odredimo osnovni period. Kako je osnovni period funkcije $ \sin x$ jednak $2\pi$, to znači da se vrednost izraza $a \sin(bx + c)$ ponavlja pri promeni argumenta za $2\pi$. Dakle, ako sa $T$ označimo osnovni period, biće $b(x + T) + c = bx + c + 2\pi$.
Odavde je $T=2\pi / b$.
Osnovni period funkcije $y=a \sin(bx + c)$, $a\neq0$, $b>0$, je $T=2\pi / b$.
Zapazimo da osnovni period ne zavisi od $c$. Sada ćemo razmotriti nekoliko specijalnih slučajeva koji će nam omogućiti da polazeći od grafika funkcije $y= \sin x$, dođemo do grafika funkcije $y=a \sin(bx + c)$ u opštem slučaju.
1) $a=1$, $b=1$; $y=\sin(x + c)$.
Može se dokazati sledeće opšte tvrđenje.
Teorema 3. Grafik funkcije $y=f(x + c)$ može se dobiti pomeranjem grafika funkcije $y=f(x)$ za $-c$ u pravcu $x$- ose.
Na osnovu teoreme 3 možemo, polazeći od grafika funkcije $y= \sin x$, konstruisati grafik funkcije $y=\sin(x + c)$ za svaki realan broj $c$.
|
2) $a=1$, $c=0$; $y=\sin bx$.
Osnovni period funkcije $y=\sin bx$ je, kao što smo na početku poglavlja utvrdili, $2\pi / b$. Zato je dovoljno nacrtati deo grafika nad intervalom[$0, 2\pi / b$], a zatim ga translirati duž $x$- ose za sve moguće vektore dužine $k\cdot2\pi / b$ ($k=0, 1, 2,...$). Nule funkcije $\sin bx$ nad intervalom [$0, 2\pi / b$] su $x=0$, $x=\pi / b$ i $x=2\pi / b$. Dalje, funkcija dostiže svoju maksimalnu vrednost za $x=\pi / 2b$ i ona iznosi $\sin b\cdot \pi / 2b=\sin \pi / 2=1$. Za $x=3\pi / 2b$ funkcija dostiže svoj minimum, koji iznosi $\sin b\cdot 3\pi / 2b=\sin 3\pi / 2=-1$.
3) $a=1$,$c\neq0$; $y=\sin(bx + c)$ Kako je $bx + c=b(x + c / b)$, to se, na osnovu teoreme 4, grafik funkcije $y=\sin(bx + c)$ može dobiti pomeranjem grafika funkcije $y=\sin bx$, duž $x$- ose, i to:
a) u pozitivnom smeru za $c / b$, ako je $c<0$ jer je po pretpostavci $b>0$;
b) u negativnom smeru za $c / b$, ako je $c>0$.
Dakle, konstrukcija grafika funkcije $y=\sin(bx + c)$, $b>0$, $c\neq0$ sastoji se iz dva koraka. Najpre se nacrta grafik funkcije $y=\sin bx$, a zatim se pomeri duž $x$- ose za $c / b$ shodno a) i b).
4) $b=1$, $c=0$; $y=a\sin x$ Vrednost funkcije $y=a\sin x$ za određenu vrednost argumenta $x$ dobija se množenjem sa $a$ vrednosti funkcije $y=\sin x$ za isti argument. Slučajevi $a>0$ i $a<0$ prikazani su na slici.
Sada možemo pristupiti crtanju grafika funkcije $y=a\sin(bx + c)$, $a\neq0$, $b>0$ u opštem slučaju. To ćemo postupno uraditi u 4. koraka.
Konstruišemo grafik funkcije $y=\sin x$.
Koristeći 2), konstruišemo grafik funkcije $y=\sin bx$.
Na osnovu 3) konstruišemo grafik funkcije $y=\sin(bx + c)$.
Na osnovu 4) konstruišemo grafik funkcije $y=a\sin(bx + c)$.