2MathEBook

Trigonometrija
Konstrukcija ugla čiji je kosinus dat 2Ebook

Konstrukcija ugla čiji je kosinus dat


U prethodnim lekcijama smo pokazali kako se pomoću trigonometrijskog kruga nalazi kosinus (sinus) datog ugla, a sada razmotrimo obrnut slučaj.

Za dati realan broj $m$ treba odrediti ugao, takav da je $cos\alpha=m$.


Najpre treba uočiti da iz definicije kosinusa i sinusa sledi:

$-1<$$cos\alpha$$<1$, $-1<$$sin\alpha$$<1$.

Stoga za $m>1$ i $m<-1$ ne postoji ugao čiji je kosinus jednak $m$. Zato ostaje slučaj $-1<$$m$$<1$.


Sada ćemo konstruisati ugao kome je $cos\alpha=m$.

Uočimo tačku i konstruišimo pravu (prava $x=m$ je paralelna sa $y-osom$ i sadrži tačku $M_1$) i presečne tačke trigonometrijskog kruga i prave $x=m$ obeležimo sa

Neka je $\alpha$=$\angle(OA,OM)$ i $\alpha'$=$\angle(OA,OM')$.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Napravljeno programom GeoGebra

Kako su koordinate tačaka $M$ i $M'$ redom $(m, y_0)$ i $(m, -y_0)$ sledi da je:

$cos\alpha=cos\alpha'=m$.


Prethodna slika prikazuje slučaj kada je $m>0$, a slučaj kada je $m<0$ je prikazan na sledećoj slici.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)


Iz konstrukcije sledi da za $|m|<1$ na intervalu $(0, 2\pi)$ uvek postoje dva ugla , takvi da je $cos\alpha=cos\alpha'=m$.

Za uglove $\alpha$ i $\alpha'$ važi da je $\alpha+\alpha'=2\pi$.


Radijus vektoru $OM$ odgovara beskonačno mnogo orijentisanih uglova i svi oni imaju kosinus jednak $m$.

Ti uglovi su oblika $\alpha+2k\pi$, gde je $k=0, ±1, ±2, ±3, ...$


  • Za $m=1$ tačke $M_1$, $M$ i $M'$ se poklapaju sa početnom tačkom $A(1,0)$ tako da skup rešenja jednačine $cos\alpha=1$ čine uglovi $2k\pi$ $(k=0, ±1, ±2, ±3, ...)$. Osnovni ugao je $0$.


  • Za $m=-1$ tačke $M_1$, $M$ i $M'$ se poklapaju sa tačkom $A'(-1,0)$ tako da skup rešenja jednačine $cos\alpha=-1$ čine uglovi $(2k+1)\pi$.




Copyright © Matf