Izračunavanje kosinusa i sinusa proizvoljnog ugla, svođenje na I kvadrant
Kao što je rečeno u prethodnom odeljku, kosinusi i sinusi uglova I kvadranta izračunavaju se na isti način kao kosinusi i sinusi oštrih uglova pravouglog trougla.
U ovoj lekciji će biti pokazano kako se kosinus i sinus proizvoljnog ugla mogu izraziti preko kosinusa, odnosno sinusa odgovarajućeg ugla I kvadranta.
Taj postupak se zove svođenje na I kvadrant.
Razmotrimo slučajeve:
1) II kvadrant
Neka je $\beta = \angle (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM})$ ugao II kvadranta i neka su $(x_0, y_0)$ koordinate tačke $M (x_0 < 0, y_0 > 0) $
. Obeležimo sa $M ^\prime$ tačku simetričnu tački $M$ u odnosu na $y$-osu
.
Tačka $M ^\prime$ pripada I kvadrantu i njene koordinate su $(-x_0, y_0)$. Ako se sa $\alpha$ obeleži ugao $\angle (\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{OA^\prime})$, zbog simetrije je
$\angle (\overrightarrow{OA} ,\overrightarrow{ OM ^\prime}) = \alpha$
.
Otuda je:
Neka su $(x_0, y_0)$, $x_0 < 0$, $y_0 < 0$, koordinate tačke $M$, gde je $\overrightarrow{OM}$ radijus vektor ugla $\beta = \angle (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM})$ iz III kvadranta
.
Obeležimo sa $M^\prime$ tačku simetričnu tački $M$ u odnosu na koordinatni početak $O$
.
Tačka $M ^\prime$ leži u I kvadrantu i ima koordinate $(-x_0, -y_0)$. Ako se sa $\alpha$ označi ugao
$\angle (\overrightarrow{OA^\prime} ,\overrightarrow{OM})$, zbog simetrije je $\angle (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM^\prime} ) = \alpha$
.
Stoga je:
Neka je $\beta = \angle (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM})$ ugao IV kvadranta i neka su $(x_0, y_0)$, $x_0 > 0$, $y_0 < 0$, koordinate tačke $M$
.
Obeležimo sa $M ^\prime$ tačku simetričnu tački $M$ u odnosu na $x$-osu
.
Tačka $M ^\prime$ pripada I kvadrantu i ima koordinate $(x_0, -y_0)$. Ako se sa $\alpha$ obeleži ugao $\angle (\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OA})$,
zbog simetrije je $\angle (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM ^\prime} ) = \alpha$
.
Iz toga sledi:
Neka je $\overrightarrow{OM}$ radijus vektor negativnog ugla $- \alpha$
.
Označimo sa $M ^\prime$ tačku simetričnu tački $M$ u odnosu na $x$-osu
.
Ako su $(x_0, y_0)$ koordinate tačke $M$, tada su $(x_0, -y_0)$ koordinate tačke $M ^\prime$. Zbog simetrije je $\angle (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM^\prime})
= \alpha$
odakle sledi formula:
