|
Tangens i kotangens proizvoljnog ugla $\alpha$ definišu se preko formula:
$tg \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} (\cos\alpha \neq 0);$
$ctg \alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} (\sin\alpha \neq 0).$
Iz ove definicije sledi da je $tg \alpha$ definisan za $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ $(k = 0, \pm 1, \pm 2, ...)$,
a $ctg \alpha$ za $\alpha \neq k\pi$ $(k = 0, \pm 1, \pm 2, ...)$. Takođe iz definicije sledi:
$tg \alpha \frac{1}{ctg \alpha} (ctg \alpha \neq 0)$
$ctg \alpha \frac{1}{tg \alpha} (tg \alpha \neq 0).$
Na osnovu znaka $\cos\alpha$ i $\sin\alpha$ i definicije tangensa i kotangensa dobija se šema za znak $tg \alpha$ i $ctg \alpha$.
|
|
|
|
|
Vrednost $tg \alpha$ za proizvoljan ugao $\alpha$ iz domena tangensa može se geometrijski interpretirati na sledeći
način.
|
Uočimo pravu $x = 1$. Ta prava, koja očigledno prolazi kroz tačku $A$ i paralelna je sa $y$ - osom, zove se
tangensna osa.
Ako je $\overrightarrow{OM}$ radijus vektor ugla $\alpha$, $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ $(k = 0, \pm 1, \pm 2, ...)$
obeležeti sa $N$ tačku preseka prave $OM$ i tangensne ose. Neka su $(1, y_{0})$ koordinate tačke $N$.
Tada je:
$tg \alpha = y_{0}$.
|
|
|
Pokazaćemo da je to tačno.
Uzeti prvo da je $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Obeležiti sa $M_{1}$ normalnu projekciju tačke $M$ na $x$ - osu.
Tada je $|OM_{1}| = \cos\alpha$ i $|MM_{1}| = \sin \alpha$.
S druge strane, iz sličnosti trouglova $OAN$ i $OM_{1}M$ je:
$\frac{|AN|}{|OA|} = \frac{|MM_{1}|}{|OM_{1}|},$
odakle, s obzirom da je $|AN| = y_{0}$ i $|OA| = 1$, sledi:
$y_{0} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = tg \alpha$.
Na sličan način se pokazuje da $tg \alpha = y_{0}$ važi i kada je ugao $\alpha$ iz nekog drugog kvadranta.
Tangensi uglova II, III, IV kvadranta
|
|
|
|
Za razliku od kosinusa i sunusa, tangens nije definisan za svaki ugao $\alpha$. Ako ugao $\alpha$ raste
i teži uglu $\frac{\pi}{2}$, neograničeno se povećava $tg \alpha$.
U graničnom slučaju, kada se radijus vektor $\overline{OM}$ ugla $\alpha$ poklopi sa $\overline{OB}$, prava $OM$
i tangensna osa postaju paralelne i njihove presečne tačke nema. Za $\alpha = \frac{\pi}{2}$, $tg \alpha$
nije definisano.
Ako ugao $\alpha$ teži uglu $\frac{\pi}{2}$ sa druge strane, smanjujući se, neograničeno se smanjuje $tg \alpha$.
Slična je situacija kad $\alpha$ teži uglu $\frac{3\pi}{2}$ sa jedne ili druge strane. Takođe nije definisano $tg \frac{3\pi}{2}$.
|
|
Napomena: Često se u literaturi koriste matematički nekorektne oznake tipa
$tg \frac{\pi}{2} = +\infty$ i $tg \frac{3\pi}{2} = -\infty$. Problem je u tome što $+\infty$ i $-\infty$
ne postoje kao brojevi. Zato ako se želi da se istakne ponašanje funkcije $tg x$ kada argument $x$ teži uglu
$\frac{\pi}{2}$ ili $\frac{3\pi}{2}$, može se pisati $tg x \rightarrow +\infty$ kad $x \rightarrow \frac{\pi}{2} - 0$
i $x \rightarrow \frac{3\pi}{2} - 0$, a $tg \rightarrow -\infty$ kad $x \rightarrow \frac{\pi}{2} + 0$ i
$x \rightarrow \frac{3\pi}{2} + 0$.
Oznaka $x \rightarrow \frac{\pi}{2} - 0$ znači da se ugao $x$ približava uglu $\frac{\pi}{2}$ preko vrednosti manjih od
$\frac{\pi}{2}$. Obrnuto je sa znakom $x \rightarrow \frac{\pi}{2} + 0$.
Može se uočiti da $\alpha = \frac{\pi}{2}$ i $\alpha = \frac{3\pi}{2}$ nisu jedini uglovi za koje $tg \alpha$
nije definisano.
Naime, $tg \alpha$ nije definisano za svako $\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi$ $(k = 0, \pm 1, \pm 2, ...)$.
|
Geometrijska interpretacija kotangensa je sledeća.
Prava $y = 1$ koja prolazi kroz tačku $B(0,1)$ i paralelna je sa $x$ - osom zove se kotangensna osa.
Obeležiti sa $L$ presečnu tačku prave $OM$ ($\overrightarrow{OM}$ - radijus vektor ugla $\alpha$) i kotangensne ose.
Ako su $(x_{0}, 1)$ koordinate tačke $L$, biće:
$ctg \alpha = x_{0}$.
|
|
Kotangensi uglova II. III i IV kavdranta
|
|
|
|
Nije definisano $ctg \alpha$ za $\alpha = k\pi$ $(k = 0, \pm 1, \pm 2, ...)$.
Tačnije za $\alpha \rightarrow k\pi + 0$, $ctg \alpha \rightarrow +\infty$, a za $\alpha \rightarrow k\pi - 0$,
$ctg \alpha \rightarrow -\infty$.
|
|