|
|||
|
Klasična primena trigonometrije sastoji se u izračunavanju elemenata trougla.Ona u mnogome počiva na sledecoj teoremi koja opisuje odnose izmeøu stranica i uglova trougla. Teorema 1.Neka je ABC proizvoljni trougao.Označimo sa $\ a$,$\ b$,$\ c$ dužine njegovih stranica,a sa $\alpha$,$\beta$,$\gamma$ njima odgovarajuæe uglove.Tada važi: $\frac{a }{ sin \alpha}$= $\frac{b} { sin \beta}$ = $\frac{ c} {sin \gamma}$ (sinusna teorema).
Dokaz . Označimo sa D upravnu projekciju tačke C na pravu AB . Moguūa su tri rasporeda tacaka :A-B-C , D-A-B , A-B-D (vidi sliku gore) Iz pravouglih trouglova ACD i BCD imamo u prvom slučaju : $\frac{CD}{AC} $ = $ sin \alpha $ ,$\frac {AD}{ AC} $ = $ cos \alpha $ , $\frac {CD}{BC} $ = $ sin \beta $ , $\frac {BD}{BC} $ = $ cos \beta $ Pa je CD = $b sin \alpha $ = $ a sin \beta $ , AB = AD + DB odakle sledi (1) $\frac {a}{sin \alpha}$ = $\frac {b}{ sin \beta}$ a takoøe (2) $c = b cos \alpha$ + $a cos \beta$ U drugom slučaju je $\frac {CD} {AC}$ = $\sin (180 - \alpha)$ = $\sin \alpha $, $\frac {AD} { AC} $=$ cos (180 -\alpha )$ = -$ cos \alpha $, $\frac {CD} {BC} $ = $\ sin \beta $ , $\frac {BD}{BC}$ = $cos \beta $ , AB = BD - AD Odakle ponovo slede formule (1) i (2). Ostali delovi se dokazuju na isti način. Primer 1.Rešiti trougao ako je poznata stranica $a$ = 160 cm nalegli uglovi $\beta$ = 36 i $\gamma$ = 68 . Rešenje . Ugao $\alpha = 180 (\beta + \gamma)$ , tj. $\alpha$ = 76 . Na osnovu sinusne teoreme je $b$ = $\frac {(a * sin \beta )}{ sin \alpha} $ = $\frac {(160 * 0,587785)}{0,970296} $ = 96,925cm Takoše je $c$ = $\frac {( a * sin \gamma)}{sin \alpha}$= 152,889 cm.
Primer 2. Rešiti trougao ako su date dužine stranica poznata $b$ = 50 cm i $c$ = 32 cm i uglao $\beta$ = 73 . Rešenje . Prvo nalazimo ugao $ \gamma $ iz relacije $ sin \gamma $ = $\frac {( c sin \beta)}{b}$= $\frac {(32 * sin 73)} {50} $ =0,6120352. Odavde je $\gamma$ = $ arcsin $ (0,6120352) = 37 44 , pa je $ \alpha = 180 ( \beta + \gamma ) $ = 69 16. Stranicu $a$ dobijamo iz relacije $ a$ = $b$ * $\frac{ sin \alpha} {sin \beta }$ = 48,87 cm.
|
||
| Copyright © Matf | |||