Elementarne funkcije

Trigonometrijske funkcije

Poreklo trigonometrije

Trigonometrija (lat. trigonon - trougao, metron - mera)je deo matematike koji izučava zavisnost između strana i uglova trougla (trigonometrija u užem smislu), a takođe i osobine trigonometrijskih funkcija i vezu među njima (goniometrija). Sam naziv trigonometrija asocira na operacije s trouglovima. U početku je za cilj imala izračunavanje vrednosti svih elemenata jednog trougla (visine, težišnih duži, simetrala, poluprečnika, površine i uglova) pomoću podataka dovoljnih za određivanje trougla. Njen prvobitni cilj je danas prevaziđen, pa je njena osnovna uloga izračunavanje trigonometrijskih funkcija.

Poreklo
Prvi koreni trigonometrije su nađeni u zapisima iz Egipta i Mesopotamije. Tamo je nađena vavilonska kamena ploča (oko $1900-1600$. p.n.e.) koja sadrži probleme sa relacijama koje odgovaraju savremenom $\sec^{2}$. Egipatski papirus Rind (oko $1650$. p.n.e.) sadrži probleme sa odnosima stranica trougla primenjenim na piramide. Niti Egipćani, niti Vavilonci nisu imali naše shvatanje mere ugla, a relacije tog tipa su smatrali osobinama trouglova, pre nego samih uglova. Prve primene trigonometrijskih funkcija bile su vezane za tetivu kruga i za poimanje da je njena dužina razapeta nad datim uglom $x$ bila (u današnjoj terminologiji) $2 \cdot \sin \frac{x}{2}$.

Važan napredak napravljen je u Grčkoj u vreme Hipokrata iz Kiosa (Elementi, oko $430$. p.n.e.), koji je proučavao odnose između centralnih uglova kružnice i tetiva. Hiparhus je $140$. p.n.e. napravio tablicu tetiva (prvu preteču savremenih sinusnih tablica). Menelaj iz Aleksandrije (Sferna geometrija, oko $100$. nove ere) je prvi koristio sferne trouglove i sfernu trigonometriju. Ptolomej (Almagest, oko $100$. n.e.) je napravio tablicu tetiva uglova izmedu $0,5$ stepeni i $180$ stepeni sa intervalom od pola stepena. On je takode istraživao trigonometrijske identitete.

Drugi skup trigonometrijskih funkcija, par tangensa i kotangensa, razvio se iz proučavanja dužina senki koje bacaju objekti različitih visina. Tales sa Mileta je oko $600$. godine p.n.e. koristio dužine senki kako bi izračunao visine piramida. Kako indijska tako i arapska matematika su obe razvile trigonometrijsku tradiciju zasnovanu na dužinama senki, koje su s druge strane ostvarile uticaj na evropsku matematiku.

Grčku trigonometriju su dalje razvijali Hindu matematičari koji su ostvarili napredak razmeštanjem tetiva preuzetih od Grka na polu tetive kruga sa datim radijusom, tj. ekvivalentom našoj sinusnoj funkciji. Prve takve tablice bile su u Sidhantasu (sistem za astronomiju) u $IV$ i $V$ veku ove ere. Poput brojeva, moderna trigonometrija nam dolazi od Hindu matematičara preko Arapskih matematičara. Prevodi sa arapskog na latinski jezik tokom $XII$ veka uveli su trigonometriju u Evropu.

Osoba odgovorna za "modernu trigonometriju" bio je renesansni matematičar Regiomontanus. Od doba Hiparha, trigonometrija je bila jednostavno alat za astronomska izračunavanja. Regiomontanus ( De triangulis omni modis, $1464$; publikovano $1533$.) bio je prvi koji je trigonometriju tretirao kao subjekt po sebi. Dalji napredak su napravili Nikola Kopernik u De revolutionibus orbium coelestium ($1543$.) i njegov učenik Retikus. U Opus palatinum de trianulis (kompletirao njegov učenik $1596$.), Retikus je ustanovio upotrebu šest osnovnih trigonometrijskih funkcija, praveći tablice njihovih vrednosti, i držeći se ideje da te funkcije predstavljaju odnose stranica u pravouglom trouglu (rađe nego tradicionalne polu-tetive krugova).

Moderna analitička geometrija datira od vremena Fransoisa Vietea, koji je uradio tablice šest funkcija do najbliže minute ($1579$). Viete je takode izveo formulu za proizvod, tangensnu formulu i formule za više uglova. Krajem $XV$ veka je prvi put upotrebljen naziv "trigonometrija".