Elementarne funkcije
Elementarne funkcije su funkcije koje se mogu dobiti iz osnovnih elementarnih funkcija pomoću konačnog broja aritmetičkih operacija (+, -, ⋅, :) i konačnog broja kompozicija elementarnih funkcija.
Osnovne elementarne funkcije su:
Eksponencijalna funkcija
Pojam eksponencijalne funkcije
Eksponencijalne funkcije se prirodno javljaju kao matematički modeli situacija u kojima je promena
neke veličine proporcionalna toj veličini. Primeri su rast populacije, prirast biomase, raspadanje radioaktivnih stvari, itd. Slična je priroda razmnožavanja pojedinih bakterija koje bi, da ne uginu približno istim tempom kojim se rađaju, eksponencijalnom eksplozijom brzo preplavile Zemlju.
Definicija
Kako za datu osnovu $a$, veću od $0$ ($a>0$) i različitu od jedan ($a \neq 1$) svaki realan eksponent $b$ jednoznačno određuje vrednost stepena $a^b$, to jednakost:
$$f(x)=a^{x}, a \in R^{+}$$
definiše funkciju $R \rightarrow R$. To je eksponencijalna funkcija, jer je argument (nezavisna promenljiva) $x$ eksponent stepena osnove $a$. Eksponencijalna funkcija se može zapisivati i kao skup uređenih parova:
$$f=\{(x, a^{x})| x \in R\}, a \in R^{+}$$
Ovaj skup se zove i grafik jer svaki od tih uređenih parova odgovara tački u koordinantom sistemu $xOy$.
Domen eksponencijalne funkcije je skup svih realnih brojeva $R$, a slika funkcije je skup $R^{+}$. Eksponencijalna funkcija $f(x)=a^{x}$ je definisana, za $a>0$, u intervalu $(- \infty, \infty)$, i ona je
uvek pozitivna, tj. iznad apcise.
Za $0 < a < 1$, funkcija $f(x)=a^{x}$ opada u intervalu $(\infty,0)$, a za $a>1$ raste u
intervalu $(0,+ \infty)$.
Eksponencijalna funkcija je monotona.
Za $a<1$, $a^{- \infty}=+ \infty$, $a^{0}=1$, $a^{+ \infty}=0$;
Za $a>1$, $a^{- \infty}=0$, $a^{0}=1$, $a^{+ \infty}=+ \infty$;
Vrednosti eksponencijalne funkcije mogu se izračunati za sve realne brojeve. Dakle, $R(a^{x})=R$,
za svaku osnovu $a$. Vrednosti eksponencijalne funkcije su strogo pozitivne. Nije moguće stepenovanjem
pozitivne osnove dobiti kao rezultat negativan broj ili nulu. To znači da je $R(a^{x})=R^{+}=(0, \infty)$.
Na desnu stranu funkcija raste vrlo brzo, brže od bilo kog polinoma.
Osnovno svojstvo eksponencijalnih funkcija izdvaja od svih mogućih baza jednu kao najprirodniju. Eksponencijalna funkcija čija je osnova $a=e$, tj. $f(x)=e^{x}$, zove se
prirodna eksponencijalna funkcija.
Ponašanje eksponencijalnih funkcija s osnovom većom od $1$ je slično ponašanju funkcije $e^{x}$, i njihovi
grafici imaju kvalitativno isti oblik, $x$-osa je jednostrana (leva) horizontalna asimptota. Za osnovu $0 < a < 1$, grafik funkcije $f(x)=a^{x}$ dobijamo iz grafika funkcije $f_{2}(x)=(\frac{1}{a})^{x}$ preslikavanjem preko $y$-ose. (Za $0 < a < 1$ je $\frac{1}{a}>1$). Grafici svih ostalih eksponencijalnih funkcija s bazom $0 < a < 1$ imaju
sličan oblik. Zajedničko im je svojstvo da im je $x$-osa jednostrana (desna) asimptota. Sve takve
eksponencijalne funkcije su padajuće.
Grafici svih eksponencijalnih funkcija prolaze kroz tačku $(0, 1)$, jer je $a^{0}=1$ za svaki pozitivan broj $a$.
Osnovni eksponencijalni zakoni:
1. $a^{0}=1$
2. $a^{1}=1$
3. $a^{x+y}=a^{x} \cdot a^{y}$
4. $a^{x-y}=\frac{a^{x}}{a^{y}}$
5. $(a^{x})^{y}=a^{x \cdot y}$
6. $a^{x} \cdot b^{x}=(ab)^{x}$
7. $a^{-x}=\frac{1}{a^{x}}$
8. $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$
9. $\sqrt[y]{a^{x}}=a^{\frac{x}{y}}$
Ovi zakoni važe za sve pozitivne realne brojeve a,b i sve realne
brojeve x, y.
Budući da je eksponencijalna funkcija $f (x) = a^{x}$, $f : R \rightarrow R^{+}$, strogo monotona (rastuća ili opadajuća),
postoji njena inverzna funkcija $f^{-1}: R^{+} \rightarrow R$ koju zovemo logaritamskom funkcijom baze a i označavamo:
$$y = log_{a} x$$Posebno, inverznu funkciju za $f(x) = e^{x}$ označavamo sa $\ln(x)$ i zovemo prirodni logaritam.