Elementarne funkcije

Elementarne funkcije

Elementarne funkcije su funkcije koje se mogu dobiti iz osnovnih elementarnih funkcija pomoću konačnog broja aritmetičkih operacija (+, -, ⋅, :) i konačnog broja kompozicija elementarnih funkcija.
Osnovne elementarne funkcije su:

• Polinomi
• Racionalne funkcije
• Eksponencijalna funkcija
• Stepene funkcije
• Logaritamska funkcija
• Trigonometrijske funkcije
• Inverzne trigonometrijske funkcije

Eksponencijalna funkcija

Primene eksponencijalnih funkcija

Primer 1.
Neko uloži sopstveni kapital $C$ na štednju uz $10%$ godišnje kamate. Kolikim iznosom raspolaže nakon $n$ godina ako je obračun kamate godišnji, složen i dekurzivan?
Rešenje
$$C(n) = C_{n}=C \cdot (1 + \frac{10}{100} )^{n}=C \cdot 1.1^{n}$$

Primer 2.(Neograničeni eksponencijalni rast)
Broj jedinki neke vrste u nekoj oblasti se, pod povoljnim uslovima, udvostručuje svake godine. Nakon $t$ povoljnih godina od uvođenja vrste u toj oblasti, brojno stanje populacije je $y(t)=6 \cdot 2^{t}$. Odredite početni broj jedinki.
Rešenje
Početni broj jedinki dobijemo uvrštavanjem $t=0$ u formulu. Dakle, $y_{0}=y(0)=6$.

Primer 3.(Ograničeni eksponencijalni rast)
Prodaja nekog novog proizvoda u početku brzo raste, a zatim se tržište polako zasićuje. Na primer, prodaja novog tipa otvarača za konzerve je opisana funkcijom $P(x) = 1000(1 − 3^{−x})$ pri čemu $x$ označava broj godina proteklih od pojave otvarača na tržištu. Izračunati količinu prodatih otvarača nakon prve, druge i treće godine.
Rešenje
$$P(0)=1000(1−\frac{1}{3})=667$$ $$P(1)=1000(1−\frac{1}{9})=889$$ $$P(2)=1000(1−\frac{1}{27})=963$$ Ovde su vrednosti zaokružene na najbliži celi broj. Primer funkcije prodaje je primjer funkcije ograničenog rasta.

Primer 4. Funkcija koja opisuje ukupan broj učenjem zapamćenih činjenica u zavisnosti od vremena proteklog od prestanka učenja data je formulom: $$N(t)=y_{0}\frac{1}{1+3^{t+1}}$$ APLET******
Ovdje je sa $t$ označen broj meseci proteklih od prestanka učenja, a sa $y_{0}$ broj činjenica poznatih učeniku u trenutku prestanka učenja. Grafik te funkcije prikazuje tzv. krivu zaboravljanja.
APLET*****
Primer 5. Izotop ugljenika $C^{14}$ je zastupljen u odredenoj količini u svim živim bićima. Nakon smrti organizma, radioaktivni $C^{14}$ se više ne obnavlja i zatečena količina počinje da se raspada. Količina preostala nakon $t$ godina je zadata formulom:
$$C(t)=C_{0}(\frac{1}{2})^{\frac{t}{5730}}$$ Ovde je $C_{0}$ količina izotopa $C^{14}$ u živom biću. Koliko je star kostur u kojem ima $4$ puta manje ugljenika $C^{14}$ nego u živim kostima?
Rešenje
$$C(t)=\frac{C_{0}}{4}$$ $$\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^{\frac{t}{5730}}$$ $$(\frac{1}{2})^{2}=(\frac{1}{2})^{\frac{t}{5730}}$$ Odavde je $\frac{t}{5730}=2$, odnosno $t=11460$ godina.