Elementarne funkcije

Elementarne funkcije

Elementarne funkcije su funkcije koje se mogu dobiti iz osnovnih elementarnih funkcija pomoću konačnog broja aritmetičkih operacija (+, -, ⋅, :) i konačnog broja kompozicija elementarnih funkcija.
Osnovne elementarne funkcije su:

• Polinomi
• Racionalne funkcije
• Eksponencijalna funkcija
• Stepene funkcije
• Logaritamska funkcija
• Trigonometrijske funkcije
• Inverzne trigonometrijske funkcije

Eksponencijalna funkcija

Osnovna svojstva eksponencijalne funkcije:

1. Domen eksponencijalne funkcije je ceo skup realnih brojeva tako što se zna da taj stepen postoji za svako $x$ iz skupa $R$;
2. Slika funkcije: Skup svih pozitivnih realnih brojeva, tj. $R^{+}$;
3. Stepen $a^x$ nije nula ni za jedno $x$, tj. jednačina $a^x=0$ nema rešenja. Dakle eksponencijalna funkcija nema nula;
4. Eksponencijalna funkcija nije ni parna $f(x) \neq f(-x)$, ni neparna $-f(x) \neq f(-x)$;
5. $f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1}) \cdot f(x_{2})$, tj. $a^{x_{1}+x_{2}}=a^{x_{1}} \cdot a^{x_{2}}$;
6. $f(x_{1}-x_{2})=f(x_{1}) : f(x_{2})$, tj. $a^{x_{1}-x_{2}}=a^{x_{1}} \cdot a^{-x_{2}}=\frac{a^{x_{1}}}{a^{x_{2}}}$;
7. Budući da je $f(0)=1$, tj. $a^0=1$, eksponencijalnoj funkciji (kakva god bila osnova $a$ iz $R^+$) pripada par $(0, 1)$;
8. $(a^{x_{1}})^{x_{2}}=a^{x_{1}x_{2}}$;
9. Bijekcija sa $R$ na $R^{+}$;
10. $a > 1 \Rightarrow f$ je strogo rastuća funkcija(vrednost joj se povećava sa porastom argumenta $x$);
11. $0 < a < 1 \Rightarrow f$ je strogo padajuća funkcija(sa porastom argumenta njena se vrednost smanjuje).

Ako se u istoj funkciji, $x$ neograničeno smanjuje, ta funkcija teži nuli jer rastojanje tačaka na grafiku od negativnog dela $x$-ose postaje sve manje (ali se kriva i $x$ - osa nikad ne dodirnu). Zbog ovog svojstva prava $y=0$ ($x$ - osa) zove se asimptota funkcije $y=a^x$, $a>1$.