Elementarne funkcije

Polinomi

Pojam polinoma

U matematici, polinom je izraz koji je sačinjen od jedne ili više promenljivih i konstanti, korišćenjem operacija sabiranja, oduzimanja, množenja, i stepenovanja pozitivnim celim stepenima. Na primer, $x^{3}+10x-9$ je polinom. Treba imati u vidu da deljenje izrazom koji sadrži promenljivu u opštem slučaju nije dozvoljeno kod polinoma.

Definicija
Funkcija
$$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}, n \in N_{0}, a_{i} \in R, a_{n} \neq 0$$ naziva se polinom stepena $n\in N$. Ovaj oblik se dobija "sređivanjem"(sabiranjem, oduzimanjem...) i naziva se kanonični, $x$- je promenljiva $a_{n}, a_{n-1},..., a_{0}$ su koeficijenti(konstante), $n$ je prirodan broj ili nula.

Ako je $a_{n} \neq 0$, onda kaěemo da je polinom $P$ stepena $n$, pa je $a_{n}$ "najstariji" koeficijent.

Po definiciji uzimamo da je konstanta polinom nultog stepena.

Dva polinoma
$$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$$i $$Q(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{1}x+b_{0}$$ su jednaka ako su istog stepena i imaju iste koeficijente, odnosno ako je $n=m, a_{0}=b_{0}, a_{1}=b_{1},..., a_{n}=b_{n}$.

Polinom $P_{n}(x)$ posmatramo i za $x\in C$. Tada je broj $x_{0} \in C$ nula polinoma $P_{n}(x)$, ako je $P_{n}(x_{0})$=0. Ako je broj $x_{0}$ nula polinoma $P_{n}(x)$, koji je racionalan, realan odnosno kompleksan broj, tu nulu ćemo zvati racionalnom, realnom odnosno kompleksnom nulom tog polinoma.

Elementarna svojstva polinoma:
1. Zbir dva polinoma je polinom
2. Proizvod dva polinoma je polinom
3. Izvod polinoma je polinom
4. Primitivna funkcija polinoma je polinom
Polinomi se koriste da aproksimiraju druge funkcije, kao što su sinus, kosinus, i eksponencijalna funkcija.

Svaki polinom $n$-tog stepena se može rastaviti u proizvod $n$ lineranih faktora:
$$P_{n}(x)=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n}),$$ gde su $x_{1}$, $x_{2}$,…, $x_{n}$ nule tog polinoma koje mogu biti realni i kompleksni brojevi. Ako su neki od njh međusobno jednaki, govorimo o višestrukim nulama. Za kompleksne nule vaěi da dolaze u paru, tj. ako je $x_{1}=a+bi$ nula polinoma, onda je $i$ konjugovano komlpeksni broj $x_{2}=a-bi$ nula tog polinoma.

Primeri polinoma:
- konstantna funkcija, $f(x)=c$
- linearna funkcija, $f(x)=ax+b$
- kvadratna funkcija, $f(x)=ax^{2}+bx+c$
- kubna funkcija, $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$