Elementarne funkcije

Polinomi

Kvadratna funkcija, $f(x)=ax^{2}+bx+c$

Polinom drugog stepena $P_{2}(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ je kvadratna funkcija, tj. funkcija koja preslikava skup reanih brojeva $R$ u skup realnih brojeva $R$ oblika:
$$f(x)=ax^{2}+bx+c; a\neq0; a,b,c \in R$$ čiji je grafik parabola.
a – vodeći koeficijent
b – linearni koeficijent
c – slobodni koeficijent, odsečak na osi ordinata (vertikalna nula)
Odsečke na osi apscisa (nule) računamo pomoću formule:
$$x_{1,2}=\frac{b^{2}±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$ gde je $D=b^{2}-4ac$ diskriminanta. Od diskriminante zavisi položaj parabole u koordinatnom sistemu, a od vodećeg koeficijenta $a$ zavisi da li je parabola konveksna $(a>0)$ ili konkavna kao i širina parabole (što je apsolutna vrednost veća parabola je šira).

Svojstva kvadratne funkcije
1. Domen kvadratne funkcije je ceo skup realnih brojeva $R$ $D(f)=R$
$$\forall x\in R, ax^{2}+bx+c\in R$$ 2. Slika funkcije
$f(D)=(\frac{4ac-b^{2}}{4a}, +\infty)$ za $a>0$,
$f(D)=(-\infty, \frac{4ac-b^{2}}{4a})$ za $a<0$

3. Funkcija $f(x)=ax^{2}+bx+c$ je parna ako je $b=0$ , a niti parna niti neparna za $b\neq 0$.

4. Nije injektivna, pa nema inverznu funkciju.
5. Nule kvadratne funkcije su one realne vrednosti promenljive $x$ za koje je vrednost funkcije
$$f(x)=ax^{2}+bx+c$$jednaka nuli. Dakle, nule kvadratne funkcije su realni koreni kvadratne jednačine
$$ax^{2}+bx+c=0,$$a ona ima realne kvadratne korene onda kada je diskriminanta veća ili jednaka $0$, odnosno
$$b^{2}-4ac \geq 0$$
Ako je $b^{2}-4ac>0$, onda su nule dva različita realna broja $x_{1}$ i $x_{2}$. Ove brojeve prikazujemo u koordinatnom sistemu $x0y$ kao apcise $x_{1}$ i $x_{2}$ tačaka koje pripadaju grafiku kvadratne funkcije.

Ako je $b^{2}-4ac=0$, onda funkcija ima jednu nulu $(x_{1}=x_{2})$ koja je predstavljena tačkom na $x$-osi (sa apcisom $x_{1}$).

Ako je $b^{2}-4ac<0$, onda funkcija nema nula, tj. njen grafik nema zajedničkih tačaka sa $x$-osom.

6. Presek sa Oy osom. Za $x=0$ kvadratna funkcija $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ima vrednost $f(0)=c$. U koordinatnom sistemu $xOy$ to će biti tačka $A(0,c)$ na osi $Oy$. Ta tačka je dakle na grafiku kvadratne funkcije.

7. Ekstremne vrednosti. Svaka kvadratna funkcija ima jedan ekstrem – ako je konveksna tada ima minimum, a ako je konkavna tada ima maksimum. Tu tačku nazivamo teme parabole, a koordinate $(x_{0}, y_{0})$ računamo:
$$x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, y_{0}=f(x_{0})$$ili $$x_{0}=-\frac{b}{2a}, y_{0}=-\frac{b^{2}-4ac}{4a}$$
8. Intervali rasta i opadanja. Posmatrajmo skup svih realnih brojeva između dva data realna broja $s$ i $t$, tj. skup $\{x \in R| s < x < t\}$. Taj skup se zove otvoren interval i označava se sa $(s,t)$.
Kažemo da funkcija $f$ raste na otvorenom intervalu $(s,t)$ ako za svako $u,v\in (s,t)$ važi:
$$u < v \Rightarrow f(u) < f(v).$$ Kažemo da funkcija $f$ opada na otvorenom intervalu $(s,t)$ ako za svako $u,v\in (s,t)$ važi:
$$u < v \Rightarrow f(u) > f(v).$$
9. Simetričnost tačaka grafika kvadratne funkcije. Grafik kvadratne funkcije simetričan je u odnosu na pravu koja prolazi kroz teme, a paralelan je sa osom $Oy$. Ta prava $s$ se naziva osa parabole.

10. Znak kvadratne funkcije. Znak kvadratne funkcije $f(x)=ax^{2}+bx+c$ zavisi od vrednosti promenljive $x$ i od koeficijenata $a,b,c$. Značajnu ulogu u određivanju znaka kvadratne funkcije imaju sledeće ekvivalencije:
$$A \cdot B > 0=(A > 0 ∧ B > 0) ∨ (A < 0 ∧ B < 0)$$i $$A \cdot B < 0=(A > 0 ∧ B < 0) ∨ (A < 0 ∧ B > 0)$$
Razlikujemo 3 slučaja:
1. slučaj $(D<0)$. Kako je $D=b^{2}-4ac<0$, tada je $−\frac{b^{2}−4ac}{4a^{2}}>0$. Dalje, kako je $f(x)=a((x+\frac{b}{2a})^{2}−\frac{b^{2}−4ac}{4a^{2}})$ to je izraz $(x+\frac{b}{2a})^{2}−\frac{b^{2}−4ac}{4a^{2}}>0$, pa kvadratna funkcija u ovom slučaju $(D<0)$ ima isti znak kao i koeficijent $a$ za sve $x\in R$.

2. slučaj $(D=0)$. U ovom slučaju kvadratna funkcija je $f(x)=a(x+\frac{b}{2a})^{2}$. Kako je $(x+\frac{b}{2a})^{2}>0$ za sve $x\neq -\frac{b}{2a}$ onda je znak kvadratne funkcije za $x\neq−\frac{b}{2a}$ jednak znaku koeficijenta $a$.

3. slučaj Funkciju $f(x)=ax^{2}+bx+c$ možemo posmatrati u obliku
$$f(x)=a(x−x_{1})(x−x_{2})$$ gde su $x_{1}$ i $x_{2}$ koreni (nule) kvadratne jednačine $ax^{2}+bx+c=0$. Neka je na primer $x_{1} < x_{2}$. Tada znak funkcije $f(x)=ax^{2}+bx+c$ zavisi od znaka svih činilaca, tj. od $a$, $(x−x_{1})$ i $(x−x_{2})$. Ako je $x < x_{1}$, onda je i $x < x_{2}$ pa je proizvod $(x−x_{1})(x−x_{2})$ pozitivan. Isto tako, ako je $x > x_{2}$, onda je i $x > x_{1}$ pa važi $x−x_{1} > 0$ i $x−x_{2} > 0$, pa je $(x−x_{1})(x−x_{2}) > 0$. Međutim, ako je $x_{1} < x < x_{2}$, onda je $x−x_{1} > 0$, a $x−x_{2} < 0$ pa je $(x−x_{1})(x−x_{2}) < 0$. Zaključak, ako je $D>0$, znak kvadratne funkcije $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ima znak koeficijenta $a$, osim za vrednosti $x$ koje su između korena kvadratne jednačine, $x_{1}$ i $x_{2}$.

11. Grafik kvadratne funkcije. Uopšte, grafik kvadratne funkcije je kriva linija koja se zove parabola. Tačka $T$ zove se teme parabole.