Elementarne funkcije

Elementarne funkcije

Elementarne funkcije su funkcije koje se mogu dobiti iz osnovnih elementarnih funkcija pomoću konačnog broja aritmetičkih operacija (+, -, ⋅, :) i konačnog broja kompozicija elementarnih funkcija.
Osnovne elementarne funkcije su:

• Polinomi
• Racionalne funkcije
• Eksponencijalna funkcija
• Stepene funkcije
• Logaritamska funkcija
• Trigonometrijske funkcije
• Inverzne trigonometrijske funkcije

Eksponencijalna funkcija

Prirodna eksponencijalna funkcija $f(x)=e^{x}$

Osnovno svojstvo eksponencijalnih funkcija izdvaja od svih mogućih baza jednu kao najprirodniju. Eksponencijalna funkcija čija je osnova $a=e$, tj. $f(x)=e^{x}$, zove se prirodna eksponencijalna funkcija. Približna vrednost broja $e$ je
$$e=2.718281828...$$ Broj $e$ je jedna od fundamentalnih konstanti prirode, slično kao konstanta $\pi$.

Svojstva eksponencijalne funkcije $f_{1}(x)=e^{x}$ su sledeća:
- $D(f)=(−\infty, \infty)$, $R(f)=(0, \infty)$;
- rastuća, konveksna;
- injektivna;
- ima inverznu funkciju $f^{−1}(x)=\ln x$ ;
- nema nule;
- leva horizontalna asimptota $y=0$ ;
- $e^{x_{1}+x_{2}}=e^{x_{1}} \cdot e^{x_{2}}, \forall x_{1}, x_{2} \in R.$

Svojstva eksponencijalne funkcije $f_{2}(x)=e^{-x}$ su sledeća:
- $D(f)=(−\infty, \infty)$, $R(f)=(0, \infty)$;
- padajuća, konveksna;
- injektivna;
- ima inverznu funkciju $f^{-1}(x)=\ln\frac{1}{x}$
- nema nula;
- desna horizontalna asimptota $y=0$.

Vrednosti eksponencijalne funkcije mogu se izračunati za sve realne brojeve. Dakle je $R(a^{x})=R$, za svaku osnovu $a$. Vrednosti eksponencijalne funkcije su strogo pozitivne. Nije moguće stepenovanjem pozitivne osnove dobiti kao rezultat negativan broj ili nulu. To znači da je $R(a^{x})=R^{+}=(0, \infty)$. Sa slike možemo videti da je $x$-osa jednostrana (leva) horizontalna asimptota grafika funkcije $f(x)=e^{x}$. Na desnu stranu funkcija raste vrlo brzo, brže od bilo kog polinoma.

Ponašanje eksponencijalnih funkcija s osnovom većom od $1$ je slično ponašanju funkcije $e^{x}$, i njihovi grafici imaju kvalitativno isti oblik. Za osnovu $0 < a < 1$, grafik funkcije $f(x)=a^{x}$ dobijamo iz grafika funkcije $g(x)=(\frac{1}{a})^{x}$zrcaljenjem preko $y$-ose. (Za $0 < a < 1$ je $\frac{1}{a}>1$). Grafici svih ostalih eksponencijalnih funkcija s bazom $0 < a < 1$ imaju sličan oblik. Zajedničko im je svojstvo da im je $x$-osa jednostrana (desna) asimptota. Sve takve eksponencijalne funkcije su padajuće.