Elementarne funkcije

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije su funkcije ugla: sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans, kosekans. Ponekad ih nazivamo trigonometrijskim odnosima. Za tangens ćemo ovde koristiti uobičajenu anglosaksonsku oznaku $\tan$, mada se kod nas se češće koristi $tg$; za kotangens, umesto $\cot$ mi obično pišemo $ctg$; kosekans, koji inače retko koristimo, zajedno sa anglosaksonskim csc pišemo i $cosec$. Ostale navedene trigonometrijske funkcije imaju jednake skraćenice kod nas i u većem delu sveta. Danas se veoma retko sreću još dva naziva trigonometrijskih funkcija: sinus versus i kosinus versus.

Veze između trigonometrijskih funkcija su:
$$\sin^{2} \alpha+\cos^{2} \alpha=1$$ $$\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$ $$\cot \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$ $$\tan \alpha=\frac{1}{cot \alpha}$$
Sve trigonometrijske funkcije su periodične funkcije. To znači da se one ponavljaju nakon svakog perioda $T: f(x)=f(x+T)$. Sinus i kosinus imaju period $T=2 \pi$, dok tangens i kotangens imaju period $T=\pi$.

Ako za neku funkciju važi $f(-x)=f(x)$ funkcija je parna, a ako važi $f(-x)=-f(x)$ tada je funkcija neparna. Kažemo da je sinus neparna funkcija jer važi: $\sin(-\alpha)=-\sin \alpha$ , a za kosinus kažemo da je parna jer važi: $\cos(- \alpha)=\cos \alpha$. Tangens i kotangens su neparne funkcije jer važi: $\tan(- \alpha)=- \tan \alpha, \cot(- \alpha)=-\cot \alpha.$
Domen svih trigonometrijskih funkcija je celi skup realnih brojeva.

Pomoću trigonometrijske funkcije
$$f(x)=a \sin(bx+c),$$ matematički možemo opisati talase treperenja zvuka. Zvuk koji nastaje treperenjem čestica neke elastične materije ili tela (drva, stakla, treperenjem žica na muzičkom instrumentu, pri žuboru vode ili morskih talasa) putuje do našeg uha pomoću zvučnih talasa koji nastaju zgušnjavanjem i razređivanjem vazduha. Ako treptaji elastične materije slede jedan za drugim u istom vremenskom periodu, tada kažemo da su ti treptaji pravilni, pa ih nazivamo tonovima (ljudski glas, zvukovi muzičkih instrumenata). Ton $f(x)=a \sin(bx+c)$ je okarakterisan svojom jačinom koja zavisi od veličine amplitude treperenja odnosno broja $a$, pa svojom visinom koja zavisi od frekvencije treperenja (broj treptaja čestica u sekundi) odnosno od broja $b$, dok broj $c$ zovemo početnom fazom treperenja i on je u direktnoj vezi s početnim mestom čestice pre početka treperenja (mesto izvora zvuka). Daljinu treperenja određuje period $T=\frac{2 \pi}{b}.$