Elementarne funkcije

Trigonometrijske funkcije

Funkcija $f(x)=\cos x$

Funkcija $f(x)=\cos x$ ima sledeće osobine na intervalu $[0,2\pi]$ koje će omogućiti da se približno nacrta njen grafik:
1. Funkcija je definisana za svako x
2. Skup vrednosti funkcije je zatvoren interval $[-1,1]$, tj. $-1 \leq cos x \leq 1$ za svako $x$ iz čega sledi da je funkcija cos x ograničena
3. Nule funkcije su $x=\frac {\pi}{2}$ i $x=\frac {3\pi}{2}$, za $x\in [0, 2\pi]$
4. $\cos x>0$ za $0 \leq x < \frac{\pi}{2}$ i $\frac{3\pi}{2} < x \leq 2\pi$, a $\cos x<0$ za $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}$, a u oba slučaja $x\in [0, 2\pi]$
5. Za $x\in [0, \pi]$, $\cos x$ opada, a za $x\in [\pi, 2\pi]$, $\cos x$ raste
Maksimalnu vrednost, dok $x\in [0, 2\pi]$, $\cos x$ dostiže za $x=0$ i ona iznosi $\cos 0=1$
Minimalnu vrednost, za $x\in [0, 2\pi]$, $\cos x$ dostiže za $x=\pi$ i ona iznosi $\cos \pi=-1$
6. $\cos x$ je periodična funkcija sa osnovnim periodom $2\pi$

Zbog periodičnosti, za crtanje grafika $\cos x$ dovoljno je nacrtati deo tog grafika nad bilo kojim intervalom dužine $2\pi$. Ostatak grafika se tada dobija pomeranjem dobijenog dela u pravcu $x$-ose za sve moguće vektore intenziteta $2k\pi$ $(k=0, 1, 2,...).$ Nacrta se približno grafik funkcije $f(x)=\cos x$ nad intervalom $[0, 2\pi]$. Radi veće preciznosti odrediće se konstruktivno kosinusi više uglova iz toga intervala.

U tu svrhu izdeli se trigonometrijski krug na $12$ jednakih lukova (svaki po $\frac{\pi}{6})$ tačkama $M_{0}, M_{1} , M_{2},...M_{11}$. Sada se u koordinatni sistem unesu tačke $C_{0}, C_{1}, C_{2},..., C_{11}$ čije su apscise redom jednake merama orijentisanih lukova $\widehat{AM_{0}}, \widehat{AM_{1}}, \widehat{AM_{2}},...,\widehat{AM_{11}}$, tj. $0, \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{6}, ..., \frac{11\pi}{6}$, a čije su ordinate jednake apscisama tačaka $M_{0}, M_{1}, M_{2},...M_{11}$. Tako su koordinate tačaka $C_{0}, C_{1}, C_{2},..., C_{11}$ redom $(0, \cos 0), (\frac{\pi}{6}, \cos\frac{\pi}{6} ), (\frac{2\pi}{6}, \cos\frac{2\pi}{6} ), ..., (\frac{11\pi}{6}, \cos\frac{11\pi}{6})$. Dobija se kriva koja predstavlja grafik funkcije nad intervalom $[0, 2\pi]$.

Kompletan grafik se dobija pomeranjem ove krive duž $x$-ose za sve vektore intenziteta $2k\pi$ ($k=0, 1, 2,...$). To je jedna beskonačna kriva čiji je jedan deo prikazan na slici. Ta kriva se naziva .

Sa grafika se mogu očitati svi važniji elementi toka funkcije $f(x)=\cos x$:
1. Domen funkcije $(-\infty, +\infty)$
2. Funkcija je periodična sa osnovnim periodom $2\pi$
3. Grafik je simetričan u odnosu na $y$-osu, $\cos(-x)=\cos x$ za svako $x$, tj. $\cos x$ je parna funkcija
4. Grafik se nalazi između paralelnih pravih $f(x)=-1$ i $f(x)=1$. To znači da je funkcija $f(x)=\cos x$ ograničena, $-1 \leq cos x \leq 1$. Njen kodomen je $[-1, 1]$
5. Grafik seče $x$-osu u tačkama $x=\frac{\pi}{2} + k\pi$ $(k=0, \pm1, \pm2, ...)$ i to su nule funkcije $f(x)=\cos x$
6. Za $x=2k\pi$ $\space$ $(k=0, \pm1, \pm2, ...)$ funkcija ima maksimalne vrednosti i one iznose $\cos 2k\pi=1$
za $x=(2k + 1)\pi$ $\space$$(k=0, \pm1, \pm2, ...)$ funkcija ima minimalne vrednosti i one iznose $\cos (2k + 1)\pi=-1$
7. $\cos x$ opada u intervalima oblika $[2k\pi, (2k + 1)\pi]$ $(k=0, \pm1, \pm2, ...)$
$\cos x$ raste u intervalima oblika $[(2k + 1)\pi, (2k + 2)\pi]$ $(k=0, \pm1, \pm2, ...)$
8. Za $x \in (-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi )$ je $\cos x> 0$
za $x \in (\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi )$ je $\cos x< 0$, $(k=0, \pm1, \pm2, ...)$