Elementarne funkcije

Trigonometrijske funkcije

Funkcija $f(x)=\tan x$

Funkcija $\tan x$ na intervalu $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ima sledeće osobine:
1. Definisana je za svako $x$ izuzev $x=-\frac{\pi}{2}$ i $x=\frac{\pi}{2}$. Za $x \rightarrow -\frac{\pi}{2}+0$ $\tan x \rightarrow -\infty$, a za $x \rightarrow \frac{\pi}{2}-0$ $\tan x \rightarrow +\infty$
2. Skup vrednosti funkcije $\tan x$ za $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ je ceo skup $R$, tj. $(-\infty, +\infty)$. To znači da nije ograničena
3. Nula funkcije je $x=0$
4. $\tan x<0$ za $-\frac{\pi}{2} < x < 0$, i $\tan x>0$ za $0 < x < \frac{\pi}{2}$
5. Stalno raste

Kako ja $\tan x$ periodična funkcija sa osnovnim periodom $\pi$, dovoljno je nacrtati grafik na intervalu $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Ostatak se dobija translacijom duž $x$- ose za $k\pi$ $(k=0, \pm1, \pm2, ...)$.

Koristićemo trigonometrijski krug. Tačke $M_{0}, M_{1}, M_{2},...M_{6}$ dele polukrug na $6$ jednakih delova. Apscise tačaka $T_{0}, T_{1}, T_{2}, T_{4}, T_{5}$ jednake su merama orijentisanih lukova $\widehat{AM_{0}}, \widehat{AM_{1}}, \widehat{AM_{2}}, \widehat{AM_{4}},\widehat{AM_{5}}$, a ordinate ordinatama tačaka $N_{0}, N_{1}, N_{2}, N_{4}, N_{5}$. Prema tome, koordinate tačaka $T_{0}, T_{1}, T_{2}, T_{4}, T_{5}$ su $(0, \tan 0)$, $(\frac{\pi}{6}, \tan \frac{\pi}{6})$, $(\frac{2\pi}{6}, \tan \frac{2\pi}{6})$, $(-\frac{\pi}{6}, \tan (-\frac{\pi}{6}))$, $(-\frac{2\pi}{6}, \tan (-\frac{2\pi}{6}))$. Spajanjem tačaka $T_{0}, T_{1}, T_{2}, T_{4}, T_{5}$ dobija se deo grafika funkcije $f(x)=\tan x$ nad intervalom $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Kada se vrednost argumenta $x$ približava $-\frac{\pi}{2}$ sa većih vrednosti, $x \rightarrow -\frac{\pi}{2}+0$, tada se $\tan x$ neograničeno smanjuje i grafik se sa donje strane približava vertikalnoj pravoj $f(x)=-\frac{\pi}{2}$. Ta prava je asimptota funkcije $f(x)=\tan x$. Slična je situacija kada $x \rightarrow \frac{\pi}{2}-0$. Tada je $\tan x \rightarrow +\infty$ i prava $f(x)=\frac{\pi}{2}$ je takođe asimptota.

Kompletan grafik dobija se translacijama u pravcu $x$- ose za $k\pi$ ($k=0, \pm1, \pm2,...$) i sastoji se iz beskonačno mnogo podudarnih krivih. Grafik funkcije $\tan x$ se naziva .

Sledeće osobine funkcije $f(x)=\tan x$ očitavaju se sa grafika:
1. Funkcija je definisana je za svako $x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi$ ($k=0, \pm1, \pm2,...$), tj. domen je $R $\$ \{\frac{\pi}{2}+k\pi| k=0, \pm1, \pm2,...\}$
2. Prave $f(x)=\frac{\pi}{2}+k\pi$ ($k=0, \pm1, \pm2,...$) su vertikalne asimptote
3. $\tan x$ je periodična funkcija sa osnovnim periodom $\pi$
4. Grafik je centralno simetričan u odnosu na koordinatni početak $0$, $\tan(-x)=-\tan x$, tj. $\tan x$ je neparna funkcija
5. $\tan x$ je neograničena funkcija i njen kodomen je ($-\infty, +\infty$)
6. Nule funkcije su $x=k\pi$ ($k=0, \pm1, \pm2,...$)
7. Nema ni maksimalnih ni minimalnih vrednosti
8. $\tan x$ stalno raste
9. $\tan x>0$ za $x \in (k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi)$, a $\tan x<0$ za $x\in(-\frac{\pi}{2}+k\pi, k\pi)$ ($k=0, \pm1, \pm2,...$)