Elementarne funkcije

Trigonometrijske funkcije

Funkcija $f(x)=\sin x$

Funkcija $f(x)=\sin x$ ima sledeće osobine na intervalu $[0, 2\pi]$ koje će omogućiti da se približno nacrta njen grafik:
1. Definisana je za svako $x$;
2. Skup vrednosti funkcije $\sin x$ je interval $[-1, 1]$. Posledica ovoga je ograničenost, $-1 \leq \sin x \leq 1$;
3. Nule funkcije su $x=0$ i $x=\pi$, za $x\in [0, 2\pi]$;
4. $\sin x$ je pozitivno za $0 < x < \pi$, a negativno za $\pi < x < 2\pi$;
5. Kada $x$ raste od $0$ do $\frac{\pi}{2}$ i od $\frac{3\pi}{2}$ do $2\pi$, $\sin x$ raste.
kada $x$ raste od $\frac{\pi}{2}$ do $\frac{3\pi}{2}$, $\sin x$ opada;
6. $\sin x$ je periodična funkcija sa osnovnim periodom $2\pi$.

Zbog periodičnosti je dovoljno da se nacrta deo grafika nad intervalom $[0,2\pi]$ i to tako što se pusti da krajnja tačka $M$ ugla $x$ obiđe potpun trigonometrijski krug i prate njene projekcije na $x$- osi.

Ostatak grafika se dobija translacijama duž $x$-ose za sve vektore intenziteta $2k\pi$ $(k=0, 1, 2, ...)$. Tako se dobija jedna beskonačna kriva, grafik funkcije $f(x)=\sin x$ , koja se zove .

Sa grafika se zapažaju osobine funkcije $f(x)=\sin x:$
1. Domen funkcije $(-\infty, +\infty)$
2. Funkcija je periodična sa osnovnim periodom $2\pi$;
3. Grafik je centralno simetričan u odnosu na koordinatni početak, $\sin(-x)=-\sin x$ za svako $x$, tj. $\sin x$ je neparna funkcija
4. Grafik se nalazi između paralelnih pravih $f(x)=-1$ i $f(x)=1$. To znači da je funkcija $f(x)=\sin x$ ograničena, $-1 \leq \sin x \leq 1$.
5. Grafik seče $x$-osu u tačkama $x= k\pi$ $(k=0, \pm1, \pm2, ...)$ i to su nule funkcije $f(x)=\sin x$
6. Za $x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ $\space$ $(k=0, \pm1, \pm2, ...)$ funkcija ima maksimalne vrednosti i one iznose $\sin(\frac{\pi}{2} + 2k\pi)=1$.
$\space$$\space$ Za $x=-\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ $\space$$(k=0, \pm1, \pm2, ...)$ funkcija ima minimalne vrednosti i one iznose $\sin(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi)=-1$ $(k=0, \pm1, \pm2, ...)$
7. $\sin x$ raste u intervalima $[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi]$.
$\sin x$ opada u intervalima $[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi]$ $(k=0, \pm1, \pm2, ...)$.
8. za $x \in ( 2k\pi, (2k + 1)\pi )$ je $\sin x> 0$,
za $x \in ((2k - 1)\pi, 2k\pi)$ je $\sin x< 0$ $(k=0, \pm1, \pm2, ...)$

Pomoću grafika može se doći do jedne važne veze između $\cos x$ i $\sin x$. Naime, ako se nacrtaju grafici obe funkcije, vidi se da se grafik funkcije $f(x)=\sin x$ može dobiti pomeranjem grafika funkcije $f(x)=\cos x$ udesno, tj. u pozitivnom smeru $x$-ose za $\frac{\pi}{2}$. To pomeranje odgovara smanjenju argumenata za $\frac{\pi}{2}$, pa umesto $\cos x$ biće $\cos(x-\frac{\pi}{2})$. Tako se dobija formula :
$$\cos(x-\frac{\pi}{2})=\sin x.$$

Obrnuto, pomeranjem grafika $\sin x$ ulevo za $\frac{\pi}{2}$, on prelazi u grafik $\cos x$, tj. važi relacija :
$$\sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos x.$$