Elementarne funkcije

Trigonometrijske funkcije

Pravougli trougao

Na slici je figura: pravougli trougao $ABC$, sa istoimenim stranicama (mala slova abecede) nasuprot temena (velika slova) i uglom alfa (malo grčko slovo $\alpha$ ) u temenu $A$. Dakle, naspramna kateta temenu $A$ je $a$, nalegla kateta je $b$, hipotenuza je $c$. Definišemo osnovne četiri trigonometrijske funkcije: sinus, kosinus, tangens i kotangens, istog ugla alfa. $ABC$, sa istoimenim stranicama (mala slova abecede) nasuprot temena (velika slova) i uglom alfa (malo grčko slovo $\alpha$) u temenu $A$. Dakle, naspramna kateta temenu $A$ je $a$, nalegla kateta je $b$, hipotenuza je $c$. Definišemo osnovne četiri trigonometrijske funkcije: sinus, kosinus, tangens i kotangens, istog ugla alfa.

Kod svakog pravouglog trougla, možemo uočiti šest različitih odnosa njegovih stranica: odnos naspramne i hipotenuze, nalegle i hipotenuze, naspramne i nalegle i tako dalje. Svaki od tih odnosa predstavlja po jednu trigonometrijsku funkciju i ima svoje istorijsko ime i skraćenicu, koja učenicima omogućava jednostavniji zapis.

Odnos naspramne stranice i hipotenuze nazivamo sinusnom funkcijom ili sinus i skraćeno zapisujemo $\sin$. Odnos nalegle i hipotenuze nazivamo kosinusnom funkcijom ili kosinus i skraćenica je $\cos$. Odnos naspramne i nalegle se naziva tangens i skraćenica je $tg$.

Ove tri funkcije nazivamo elementarnim trigonometrijskim funkcijama: $$\sin \alpha=\frac{naspramna}{hipotenuza}, \cos \alpha=\frac{nalegla}{hipotenuza}, \tan \alpha=\frac{naspramna}{nalegla}$$

Pravougli trougao $$\sin \alpha=\frac{a}{c}, \cos \alpha=\frac{b}{c}$$ $$\tan \alpha=\frac{a}{b}, \cot \alpha=\frac{b}{a}$$ Možda ćete se pitati zašto ove odnose ne nazivamo trigonometrijskim odnosima već trigonometrijskim funkcijama. Ako pogledamo funkciju $y=\sin x$, "ugao" $x$, može biti bilo koji broj. Prema tome, $y=\sin x$ je odnos između brojeva $x$ i $y$ , i to nije neophodno dovoditi u vezu sa geometrijom.

Preostala tri od šest odnosa stranica pravouglog trougla su: odnos hipotenuze i naspramne, odnos hipotenuze i nalegle i odnos nalegle i naspramne.

Odnos hipotenuze i naspramne stranice nazivamo kosekans i skraćeno zapisujemo $\csc$. Odnos hipotenuze i nalegle nazivamo sekans i skraćenica je $\sec$. Odnos nalegle i naspramne se naziva kotangens i skraćenica je $\cot$.

Pogledajmo prikaz formula opisanih funkcija na sledećim slikama:
$$\csc \alpha=\frac{hipotenuza}{naspramna}, \sec \alpha=\frac{hipotenuza}{nalegla}, \cot \alpha=\frac{nalegla}{naspramna}$$
Primetimo, da su ove funkcije, $\csc, \sec, \cot$ jednake recipročnoj vrednosti redom funkcija $\sin, \cos, \tan$.
$$\csc \alpha=\frac{c}{a}, \sec \alpha=\frac{c}{b}$$
Kosekans se kod nas češće piše $cosec \alpha$. Kao što je definisano, tri od ovih funkcija su recipročne ostalim tri:
$$\cot \alpha=\frac{1}{\tan \alpha}, \csc \alpha=\frac{1}{\sin \alpha}, \sec \alpha=\frac{1}{\cos \alpha}$$
Iz istih definicija izvodimo:
$$\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \cot \alpha=\frac{\csc \alpha}{\sec \alpha}, \tan \alpha \cdot \cot \alpha=1$$
Sledeće osnovne relacije, koje se nazivaju osnovni trigonometrijski identiteti, ili Pitagorini identiteti, zasnovane su na Pitagorinoj teoremi:
$$\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha=1, 1+\tan^{2} \alpha=\sec^{2} \alpha, 1+\cot^{2} \alpha=\csc^{2} \alpha.$$