„Визуелизација Поенкареовог диск модела коришћењем програмског пакета GeoGebra“
Марина Јовановић,
Универзитет у Београду, Математички факултет

Други задатак

Нека су дате $h-$права $a$ и $h-$тачка $A$. Одредити $h-$праву $n$ која садржи $h-$тачку $A$ и нормална је на $h-$праву $a$.

Дајемо визуелни приказ решења.

Означимо са $O$ центар апсолуте. Разликоваћемо два случаја, када је $A=O$ и када је $A\neq O$.

1. ($A=O$)

Како је $h-$права $n$ $h-$инцидентна са $A$, следи да је $n$ пречник апсолуте, тј. део еуклидске праве. У зависности од међусобног положаја $h-$тачке $A$ и $h-$праве $a$ разликујемо два подслучаја.

1.1. ($h-$тачка $A$ и $h-$права $a$ су $h-$инцидентне)

Како је $A=O$, следи да је $h-$права $a$ пречник апсолуте, односно део еуклидске праве. Даље, како су $h-$праве $a$ и $n$ пречници апсолуте (делови еуклидске праве) и треба да су међусобно нормалне, следи да је онај пречник апсолуте који је у тачки $A$ нормалан на пречник апсолуте који представља $h-$праву $a$.

Ovo je Java Applet napravljen u GeoGebri sa www.geogebra.org - izgleda da nemate instaliranu Javu; molim otvorite www.java.com

1.2. ($h-$тачка $A$ и $h-$права $a$ нису $h-$инцидентне)

Како је $A=O$, следи да је $h-$права $a$ $a_1$ нормалног на апсолуту. Означимо са $O_1$ $a_1$. Како $a$ и $n$ треба да су међусобно нормалне $h-$праве, следи да ће $h-$права $n$ бити садржана у која је нормална на круг $a_1$ и садржи тачку $O$. Да би права била нормална на круг потребно је да садржи центар тог круга. Дакле, тражена ће бити део еуклидске праве $OO_1$ који припада унутрашњости апсолуте.

Ovo je Java Applet napravljen u GeoGebri sa www.geogebra.org - izgleda da nemate instaliranu Javu; molim otvorite www.java.com

2. ($A\neq O$)

Конструишимо праву која садржи тачку $A$ и нормална је на праву $OA$. Означимо са тачку пресека апсолуте и праве $p$. Конструишимо, даље, тангенту у тачки $T$ на апсолуту. Означимо $O_1$ пресек правих $OA$ и $t$, а $l$ $h-$праву која је део еуклидског круга $l_1\left(O_1,O_1T\right)$. Посматрајмо $O_1TO$ и $O_1AT$.

Ovo je Java Applet napravljen u GeoGebri sa www.geogebra.org - izgleda da nemate instaliranu Javu; molim otvorite www.java.com Како је $\angle OTO_1=\angle TAO_1$ и $\angle TO_1O=\angle AO_1T$, то су троуглови $O_1TO$ и $O_1AT$ слични, па следи да је ${O_1T}^{2}=O_1A\cdot OO_1$. Можемо закључити да важи ${\psi}_{l_1}(A)=O$, односно да је $O$ слика тачке $A$ при инверзији у односу на круг $l_1$.

Инверзијом у односу на $l$ $h-$тачка $A$ се слика у $h-$тачку $O$, а $h-$права $a$ у $a_1$. Нека је $n_1$ која садржи $O$ и нормална је на $a_1$. Како је $h-$права $a$ слика $h-$праве $a_1$ при инверзији у односу на $l$, следи да ће и $n$ бити слика $h-$праве $n_1$ при истој инверзији. Даље, како је $h-$права $n_1$ $h-$инцидентна са $h-$тачком $O$, следи да ће $h-$права $n$ бити $h-$инцидентна са $h-$тачком $A$. На крају, како свака инверзија чува углове, следи да ће овако конструисана бити нормална на $h-$праву $a$.