„Визуелизација Поенкареовог диск модела коришћењем програмског пакета GeoGebra“
Марина Јовановић,
Универзитет у Београду, Математички факултет

Први задатак

Показати да је збир унутрашњих углова $h-$троугла мањи од $\pi$.

Дајемо визуелни приказ решења.

Нека је произвољан $h-$троугао и центар апсолуте. Постоји $\varphi$ којом се $h-$тачка $A$ пресликава у $O$. Означимо са $B_1=\varphi(B)$ и $C_1=\varphi(C)$.

Ovo je Java Applet napravljen u GeoGebri sa www.geogebra.org - izgleda da nemate instaliranu Javu; molim otvorite www.java.com

$h-$рефлексијом $\varphi$ $h-$углови датог $h-$троугла $ABC$ пресликава се на њима $h-$подударне $h-$углове $OB_1C_1$.

$h-$дужи $AB$ и $AC$ се пресликавају на $h-$дужи $OB_1$ и $OC_1$ које припадају пречницима апсолуте.

Како су $h-$углови $\angle OB_1C_1$ и $\angle B_1C_1O$ мањи од углова $OB_1C_1$ у еуклидском смислу и како је збир углова у троуглу (еуклидском) $OB_1C_1$ једнак $\pi,$ следи да је збир $h-$углова $h-$троугла $OB_1C_1$ мањи од $\pi.$

Даље, како се при свакој инверзији или осној рефлексији чувају углови, а свака $h-$рефлексија је рестрикција неке инверзије или осне рефлексије, то је и збир углова у $h-$троуглу $ABC$ мањи од $\pi$.