„Визуелизација Поенкареовог диск модела коришћењем програмског пакета GeoGebra“
Марина Јовановић,
Универзитет у Београду, Математички факултет

Аксиоме хиперболичке гeометрије равни

I     Аксиоме инциденције

1. Свака $h-$права садржи најмање две разне $h-$тачке $A$ и $B$.


2. Постоји најмање једна $h-$права која садржи две $h-$тачке $A$ и $B$.


3. Постоји највише једна $h-$права која садржи две разне $h-$тачке $A$ и $B$.


4. Постоје три $h-$неколинеарне тачке.

II     Аксиоме распореда

1. Ако је ${\mathcal{B}}_{h}(A,B,C)$, тада су $A,B,C$ три разне $h-$колинеарне тачке.


2. Ако је ${\mathcal{B}}_{h}(A,B,C)$, тада је ${\mathcal{B}}_{h}(C,B,A)$.


3. Ако је ${\mathcal{B}}_{h}(A,B,C)$, тада није ${\mathcal{B}}_{h}(A,C,B)$.


4. Ако су $A$ и $B$ две разне $h-$тачке, тада постоји $h-$тачка $C$ таква да је ${\mathcal{B}}_{h}(A,B,C)$.


5. Ако су $A,B,C$ три разне $h-$колинеарне $h-$тачке, тада је или ${\mathcal{B}}_{h}(A,B,C)$ или ${\mathcal{B}}_{h}(B,C,A)$ или ${\mathcal{B}}_{h}(C,A,B)$.


6. Пашова аксиома:
   
   Ако су $A,B,C$ три $h-$неколинеарне $h-$тачке и $p$ $h-$права која припада $h-$равни $ABC$, не садржи $h-$тачку $A$ и сече $h-$праву $BC$ у $h-$тачки $P$ таквој да је ${\mathcal{B}}_{h}(B,P,C)$, тада $h-$права $p$ или сече $h-$праву $CA$ у $h-$тачки $Q$ таквој да је ${\mathcal{B}}_{h}(C,Q,A)$ или сече $h-$праву $AB$ у $h-$тачки $R$ таквој да је ${\mathcal{B}}_{h}(A,R,B)$.

III         Аксиоме подударности

1. Ако су $A,B,C,D$ $h-$тачке такве да је $(A,B)\cong (C,D)$ и $A=B$, тада је $C=D$.


2. Ако су $A$ и $B$ било које две $h-$тачке, тада је $(A,B)\cong (B,A)$.


3. Ако су $A,B,C,D,E,F$ $h-$тачке такве да је $(A,B)\cong (C,D)$ и, уз то $(A,B)\cong (E,F)$, тада је $(C,D)\cong (E,F)$.


4. Ако су $C$ и $C'$ $h-$тачке двеју отворених $h-$дужи $AB$ и $A'B'$, такве да је $(A,C)\cong (A',C')$ и $(B,C)\cong(B',C')$, тада је и $(A,B)\cong(A',B')$.


5. Ако су $A$ и $B$ две разне $h-$тачке и $C$ теме неке $h-$полуправе, тада на тој $h-$полуправој постоји $h-$тачка $D$ таква да је $(A,B)\cong(C,D)$.


6. Ако су $A,B,C$ три $h-$неколинеарне $h-$тачке и $A',B'$ $h-$тачке руба неке $h-$полуравни, такве да је $(A,B)\cong(A',B')$, тада у тој $h-$полуравни постоји јединствена $h-$тачка $C'$ таква да је $(A,C)\cong(A',C')$ и $(B,C)\cong(B',C')$.


7. Ако су $A,B,C$ и $A',B',C'$ две тројке $h-$неколинеарних $h-$тачака и $D$ и $D'$ тачке $h-$полуправих $BC$ и $B'C'$, такве да је $(A,B)\cong(A',B')$, $(B,C)\cong(B',C')$, $(C,A)\cong(C',A')$ и $(B,D)\cong(B',D')$, тада је и $(A,D)\cong(A',D')$.

IV     Аксиоме непрекидности

1. Архимед-Еудоксова аксиома:
   
   Ако су $AB$ и $CD$ две произвољне $h-$дужи, тада на $h-$полуправој $AB$ постоји коначан низ втачака $A_1, A_2,\ldots , A_n$ таквих да је $\mathcal{B}(A,A_1,A_2,\ldots,A_n)$, при чему је свака од $h-$дужи $AA_1, A_1A_2,\ldots,$ $A_{n-1}A_n$ $h-$подударна $h-$дужи $CD$ и $\mathcal{B}(A,B,A_n)$.


2. Канторова аксиома:
   
   Ако је $A_1B_1, A_2B_2,\ldots,A_nB_n, \ldots$ низ затворених $h-$дужи неке $h-$праве, таквих да свака од тих $h-$дужи садржи следећу, тада постоји $h-$тачка $X$ која припада свакој $h-$дужи тог низа.

V     Аксиома паралелности

1. Аксиома Лобачевског:
   
   Постоје $h-$тачка $B$ и $h-$права $a$ која је не садржи такве да у њима одређеној $h-$равни постоји више од једне $h-$праве која садржи $h-$тачку $B$, а са $h-$правом $a$ нема заједничких $h-$тачака.