Problem tangente i brzine
Pojam izvoda funkcije

Neprekidnost funkcije

Za neprekidne funkcije važi: $$\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f(x_0)$$

u tački neprekidnosti $x_0$. Na drugi način zapisano, $$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta f(x_0)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}[f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})]=0$$
Navedeni uslov je očigledno neophodan da bi mogla da postoji (konačna) granična vrednost $\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}$ koja definiše izvod funkcije $f$ u tački $x_{0}$. Na taj način, važi:

Teorema 1. Ako je funkcija $f$ diferencijabilna (ima izvod) u tački $x_{0}$, tada je ona neprekidna u toj tački.

Razmotrimo naredni primer:

Posmatrajmo jednu funkciju i drugu koja ima prekid u $x_{0}$.
Zatim pogledajmo nagib pravca tangente u tački $x_0$ i neprekidne funkcije. Primećujemo da prekidna funkcija ima dve različite vrednosti nagiba u istoj tački, što zapravo znači da ne postoji izvod u toj tački.

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Dakle, neprekidnost je neophodan uslov diferencijabilnosti. Da taj uslov nije i dovoljan, pokazuje sledći primer:

$f(x)=|x|$ je neprekidna u $x_0=0$. Količnik priraštaja funkcije $f$ i argumenta $x$ u toj tački

$$\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x }= \frac{|\Delta x|}{\Delta x}=\{\begin{array}{cc} 1 & za \Delta x > 0 \\ -1 & za \Delta x< 0 \end{array}$$

pa ne postoji njegova granična vrednost kad $\Delta x \rightarrow 0$, jer je $$ \lim_{\Delta x \rightarrow +0 }=\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}=1, \lim_{\Delta x \rightarrow -0 }=\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}=-1.$$

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Dakle, ova funkcija nema izvod u tački $x_0=0$. Geometrijski to znači da njen grafik nema tangnetu u tački $(0,0)$ - može se reći da on ima levu i desnu .