Izvod funkcije
Pravila diferenciranja

Izvod funkcije $f(x)=a^x$

Odredimo izvod $f(x)=a^{x}$ u $x\in R$. Neka je $a>0, a\neq1$.
Posmatrajmo $g(x_{0})$: $$g(x_{0},\Delta x)=\frac {\Delta f(x_{0})}{\Delta x}=\frac{a^{(x_{0}+\Delta x)}-a^{x_{0}}}{\Delta x },$$ $f$ u $x_{0}$:

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

$$f'(x_{0})=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}g(x_{0},\Delta x)=$$ $$=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac {\Delta f(x_{0})}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^{(x_{0}+\Delta x)}-a^{x_{0}}}{\Delta x }=$$ $$=a^x\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}$$ Koristeći poznati rezultat $\lim_{t \rightarrow 0}\frac{a^t-1}{t}=ln(a)$ i neprekidnost eksponencijalne funkcije, dobijamo da je $$f'(x_{0})=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=a^{x_{0}}ln(a).$$