Izvod inverzne funkcije

Teorema 4. Neka su funkcije $f: A \rightarrow B,$ $f^{-1}:B\rightarrow A$ $(A, B \subset \mathbf{R})$ uzajamno inverzne i neprekidne u tački $x_{0}\in A$, odnosno $y_0=f(x_{0})\in B$. Ako je funkcija f diferencijabilna u tački $x_{0}$ i $f'{x_{0}}\neq 0$, tada je funkcija $f^{-1}$ diferencijabilna u tački $y_{0}$ i važi $$(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_{0})}.$$ Dokaz. Kako su funkcije $f$ i $f^{-1}$ uzajamno inverzne, veličine $f(x)-f(x_0)$ i $f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)$ se ne anuliraju ako je $x \neq x_{0}$. Iz neprekidnosti tih funkcija u $x_{0}$, odnosno $y_{0}$, može se osim toga, zaključiti da $x \rightarrow x_{0}$ povlači $y \rightarrow y_{0}$ i obrnuto. Ako sada iskoristimo teoremu o limesu količnika, dobijamo $$\lim_{y \rightarrow y_{0}}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_{0}}= \lim_ {x \rightarrow x_{0}}\frac{x-x_{0}}{f(x)-f(x_{0})}=\lim_{x \rightarrow x_{0}} \frac{1}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\frac{1}{f'(x_{0})},$$ što i znači da je $$(f^{-1})'(y_{0})=\frac {1}{f'(x_{0})}.$$

Geometrijska interpretacija prethodne teoreme

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

uzajamno inverznih funkcija su simetrični u odnosu na $x=y$. To znači da u $A$ krive $y=f(x)$ gradi sa x-osom isti $\alpha$ koji u njoj simetričnoj $A'$ krive $y=f^{-1}(x)$ gradi sa y-osom.Ta druga tangenta, međutim, sa x-osom gradi $\beta= \frac{\pi}{2}-\alpha$, odakle je $\tan \beta =\frac{1}{\tan \alpha}$, što je na drugi način zapisano tvrđenje prethodne teoreme.