Метод парцијалне интеграције у одређеном интегралу

Теорема 14. Нека функције $u(x)$ и $v(x)$ имају непрекидне изводе на сегменту $[a, b]$. Тада важи једнакост: $$\int_{a}^{b}{u(x)dv(x)}=(u(x)v(x))|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}{v(x)du(x)}.$$

Пример 1. Методом парцијалне интеграције решити одређени интеграл $\displaystyle{\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{(x+1)\cos{(3x)}dx}}$.

Решење:

Нека је $u(x)=x+1$, $dv(x)=\cos{(3x)}dx$. Приликом решавања одређеног интеграла методом парцијалне интеграције границе остају исте. $$ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{(x+1)\cos{(3x)}dx} = \left[ \begin{array}{clr} u=x+1/' & & dv=\cos{(3x)}dx/\int{}\\ & \nwarrow &\\ du=dx & \longleftrightarrow & v=\frac{1}{3}\sin{3x} \end{array} \right]= $$$$ =\left.\frac{1}{3}(x+1)\cdot\sin{3x}\right|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}-\frac{1}{3}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\sin{3x}dx}= $$ $$ =\frac{1}{3}(\frac{\pi}{3}+1)\sin{\pi}-\frac{1}{3}(\frac{\pi}{6}+1)\sin{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{9}\cos{3x}|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}=-\frac{\pi+8}{18}. $$