Одређени интеграл

Одређени интеграл хронолошки настаје пре неодређеног интеграла. Појам неодређеног интеграла се ослања на појам извода и не представља неки нови основни појам, мада омогућава олакшан рад са одређеним интегралима. Антички народи су се користили неким специјалним случајевима одређеног интеграла. Проблем квадратуре параболе који је поставио Архимед представља један од првих значајних резултата математичке анализе.

Проблем квадратуре параболе

Нека је дата $y=x^2$ и правоугаоник са теменима (0, 0),($a$, 0),$(a, a^2)$,$(0, a^2)$, $ > 0$. Тада парабола дели правоугаоник на две фигуре чије се површине односе као $1:2$. Површина једнака је $$P=a\cdot a^2=a^3$$ Нека фигура ограничена страницама и правоугаоника и од $A$ до $C$ параболе има површину . Треба доказати да је $S:(P-S)=1:2$, односно, $\displaystyle{S=\frac{1}{3}P=\frac{1}{3}a^3}$. Променом вредности долази до промене координата тачака и одговарајућих површина.

Одсечак $[0, a]$ осе $Ox$ ће бити подељен на $n$ једнаких одсечака. Сваки од ових одсечака има дужину $\displaystyle{\frac{a}{n}}$. Над одсечцима ће бити конструисани , чије десно горње теме припада параболи.

Сада ће бити конструисани и чије лево горње теме припада параболи.

Висине описаних правоугаоника једнаке су редом: $\displaystyle{{\left(\frac{a}{n}\right)}^2, \ldots , {\left(n\frac{a}{n}\right)}^2}$, па су и њихове површине једнаке, редом $\displaystyle{\frac{a}{n}\left(\frac{a}{n}\right)^2, \ldots, \frac{a}{n}\left(n\frac{a}{n}\right)^2}$. Одатле следи да је збир $Po$ површина описаних правоугаоника једнак $$ P_O = {\left(\frac{a}{n}\right)}^3(1^2+2^2+\cdots+{(n-1)}^2+n^2) $$ $$ = {\left(\frac{a}{n}\right)}^3\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = a^3\cdot\frac{2n^2+3n+1}{6n^2} = \frac{a^3}{3}+\frac{a^3}{2n}+\frac{a^3}{6n^2}. $$ Површина сваког од уписаних правоугаоника једнака је разлици површина одговарајућег описаног правоугаоника и ,,додатог" правоугаоника.

Сваки од додатих правоугаоника има једну од страница дужине $\displaystyle{\frac{a}{n}}$, док је збир дужина њихових висина једнак $a^2$. Збир површина уписаних правоугаоника једнак је $P_U=P_O-P_D$, односно $$ P_U=\frac{a^3}{3}+\frac{a^3}{2n}+\frac{a^3}{6n^2}-\frac{a^3}{n}=\frac{a^3}{3}-\frac{a^3}{2n}+\frac{a^3}{6n^2}. $$

Површина фигуре мања је од површина описаних, а већа од површина уписаних правоугаоника. Дакле, $$ \frac{a^3}{3}-\frac{a^3}{2n}+\frac{a^3}{6n^2} < S < \frac{a^3}{3}+\frac{a^3}{2n}+\frac{a^3}{6n^2}, $$ због чега је $$ -\frac{a^3}{2n}+\frac{a^3}{6n^2} < S-\frac{a^3}{3} < \frac{a^3}{2n}+\frac{a^3}{6n^2}. $$ Ове неједнакости су тачне за сваки природан број $n$. Пошто је $$ \lim_{n\longrightarrow \infty}{(-\frac{a^3}{2n}+\frac{a^3}{6n^2})}=0=\lim_{n\longrightarrow \infty}{(\frac{a^3}{2n}+\frac{a^3}{6n^2})}, $$ може се закључити да је $\displaystyle{S=\frac{a^3}{3}}$.

Сада ће проблем квадратуре параболе бити повезан са појмом примитивне функције. Нека је дата парабола $y=x^2$. Потребно је наћи површину $S(t)$ фигуре у равни која је ограничена осом $Ox$, правом $x=t, t\geq0$ и делом лука параболе за $0\leq x \leq t$. Функција $S(t)$ је дефинисана за свако $t \geq 0$ и нека је то одређени позитиван број. Биће израчуната разлика $S(t_0+h)-S(t_0)$. Постоје два случаја, када је $h > 0$ и када је $h < 0$, што је приказано на наредној анимацији.

Закључује се да постоји $$\lim_{h\longrightarrow 0}{\frac{S(t_0+h)-S(t_0)}{h}}$$ и да је он једнак $t_0^2$. Функција $S(t)$ ће имати у свакој својој тачки $t_0$ извод $S'(t_0)=t_0^2$, што значи да је $S(t)$ примитивна функција за функцију $t^2$. Одавде се закључује да је $S(t)=\frac{1}{3}t^3+c, t \geq 0$. Како је $S(0)=0$, добија се да је $c=0$, па је $$S(t)=\frac{1}{3}t^3, t \geq 0.$$ За $t=a$, ово је формула $S=\frac{1}{3}a^3$, добијена приликом решавања проблема квадратуре параболе Архимедовом методом.