Дефиниција одређеног интеграла

Некa је дат $[a, b] \subset \mathbb{R}$. Коначан скуп тачака $P=\{x_0, x_1, \ldots, x_n\}$ такав да је $a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$ назива се сегмента $[a, b]$. Ако за скуп $P[a, b]$ свих подела сегмента $[a, b]$ важи $P' \subset P$ онда је подела $P$ финија од поделе $P'$. Са $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ биће означена дужина подеоног сегмента. Параметар поделе $P$ биће $\displaystyle{\lambda(P)=\max_{1 \leq i \leq n}{\Delta x_i}}$. На сваком сегменту $[x_{i-1}, x_i], i=1, 2, \ldots, n$ је $\xi_i$. Скуп свих изабраних тачака означен је са $\xi=\{\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n\}$. На овај начин добија се подела са $(P, \xi)$ сегмента $[a, b]$.

Дефиниција 4. Нека је $f: [a, b] \longrightarrow \mathbb{R}$ и нека је $(P, \xi)$ подела са истакнутим тачкама сегмента $[a, b]$. Збир $$\sigma(f, P, \xi)=\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i}$$ назива се функције $f$ за дату поделу $(P, \xi)$.

Дефиниција 5. За број $I$ се каже да је лимес (гранична вредност) интегралних сума $\sigma(f, P, \xi)$ функције $f: [a, b] \longrightarrow \mathbb{R}$ кад $\lambda(P) \longrightarrow 0$ и пише се $$\lim_{\lambda(P)\longrightarrow0}{\sigma(f, P, \xi)}=I$$ ако за свако $\varepsilon > 0$ постоји $\delta > 0$, тако да за сваку поделу са истакнутим тачкама $(P, \xi) \in P[a, b]$ важи неједнакост $$|\sigma(f, P, \xi)-I| < \varepsilon$$ кад је $\lambda(P) < \delta$.

Ако $\displaystyle{\lim_{\lambda(P)\longrightarrow0}{\sigma(f, P, \xi)}}$ постоји и коначан је, онда се каже да је функција $f$ интеграбилна у Римановом смислу на сегменту $[a, b]$. Број $\displaystyle{I=\lim_{\lambda(P)\longrightarrow0}{\sigma(f, P, \xi)}}$ назива се Римановим интегралом функције $f$ на сегменту $[a, b]$ и пише се $$I=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$ Број $a$ представља доњу границу интеграла, број $b$ представља горњу границу интеграла, функција $f$ назива се подинтегралном функцијом, а израз $f(x)dx$ подинтегралним изразом.

Скуп свих функција интеграбилних у Римановом смислу на сегменту $[a, b]$ означава се са $\mathcal{R}[a, b]$ и такве функције се називају интеграбилним функцијама.

Дакле, што се више повећава број подеоних тачака, то се параметар поделе све више смањује. На тај начин се подела сегмента $[a, b]$ све више , а интегрална сума се приближава вредности интеграла функције $f$ на сегменту $[a, b]$.

Став 4. Потребан услов да функција $f$ буде интеграбилна на сегменту $[a, b]$ јесте да функција $f$ буде ограничена на сегменту $[a, b]$.

Закључује се да из Риман интеграбилности следи ограниченост, док обрнуто не мора да важи.

Пример 1. На примеру Дирихлеове функције биће приказано да ако је функција ограничена не мора бити Риман интеграбилна.

Решење:

Нека је дата Дирихлеова функција на сегменту $[a, b]$: $$\chi(x)=\left\{ \begin{array}{rl} 1, & x\in \mathbb{Q} \\ 0, & x\notin \mathbb{Q}. \end{array} \right.$$ Ова функција има прекид у свакој тачки. Нека је дата претпоставка да је она Риман интеграбилна. Тада ће интегрална сума у тачкама које припадају скупу рационалних бројева бити $\displaystyle{\sigma(f,P,\xi)=\sum_{i=1}^{n}{1\cdot\Delta x_i}=b-a}$, а у тачкама које нису рационални бројеви ће бити $\displaystyle{\sigma(f,P,\xi)=\sum_{i=1}^{n}{0\cdot\Delta x_i}=0}$. Одавде следи да лимес ове суме не постоји па Дирихлеова функција није интеграбилна на $[a, b]$.

У вези са интегралном сумом стоје Дарбуове суме. Нека је функција $f$ дефинисана и ограничена на сегменту $[a, b]$ и нека је $P=\{x_0, x_1, \ldots, x_n\}$ подела тог сегмента. Нека су $m_i$, односно, $m$ и $M_i$, односно, $M$ дефинисани са: $$m_i=\inf_{x\in[x_{i-1}, x_i]}{f(x)}, m=\inf_{x\in[a,b]}{f(x)}$$ $$M_i=\sup_{x\in[x_{i-1}, x_i]}{f(x)}, M = \sup_{x\in[a, b]}{f(x)}.$$ Сума $\displaystyle{s=s(f, P)=\sum_{i=1}^{n}{m_i\Delta x_i}}$ назива се доњом Дарбуовом сумом, а $\displaystyle{S=S(f, P)=\sum_{i=1}^{n}{M_i\Delta x_i}}$ горњом Дарбуовом сумом функције $F$ на сегменту $[a, b]$.

Став 5. Ако је функција $f$ ограничена на сегменту $[a, b]$ тада за интегралну и Дарбуове суме важи:

1. $m(b-a)\leq s(f, P)\leq\sigma(f, P, \xi)\leq S(f, P)\leq M(b-a)$
2. $\displaystyle{\inf_{\xi}{\sigma(f, P, \xi)}=s(f, P), \sup_{\xi}{\sigma(f, P, \xi)}=S(f, P)}.$

Како су Дарбуове суме ограничене, важиће да постоје коначни $\displaystyle{\sup_{P}{s(f, P)}}$ и $\displaystyle{\inf_{P}{S(f, P)}}$. Доња Дарбуова сума је ограничена одозго са $M_i$, па има свој супремум, а горња Дарбуова сума је ограничена одоздо па има свој инфимум. Са $$\underline{I}=\sup_{P}{s(f, P)}$$ биће означен доњи Дарбуов интеграл, а са $$\overline{I}=\inf_{P}{S(f,P)}$$ горњи Дарбуов интеграл функције $f$ на сегменту $[a, b]$.

Теорема 6. За ограничену функцију $f$ на сегменту $[a, b]$ важи $$\underline{I}=\lim_{\lambda(P)\longrightarrow0}{s(f,P)}, \overline{I}=\lim_{\lambda(P)\longrightarrow0}{S(f,P)}.$$

Последица 1. Важе следећа два тврђења:

1. Ограничена функција на сегменту је интеграбилна ако и само ако јој се доњи и горњи Дарбуов интеграл поклапају.
2. Ограничена функција $f$ је интеграбилна на сегменту $[a, b]$ ако и само ако за свако $\varepsilon > 0$ постоји подела $P$ тог сегмента таква да је $S(f,P)-s(f, P) < \varepsilon$.