Њутн-Лајбницова формула

Крајем 17. века, Исак Њутн и Готфрид Вилхем Лајбниц засновали су диференцијални и интегрални рачун, независно један од другог. Такође, они су истовремено формулисали и основну теорему калкулуса. Користећи се том теоремом биће изведена и Њутн-Лајбницова формула која омогућава једноставнији рад са одређеним интегралима.

Нек је дата функција $f$ интеграбилна на сегменту $[a, b]$. Када $x$ узима вредност из сегмента $[a, b]$ онда је $$\varphi(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}$$ функција дефинисана на $[a, b]$. Ова функција често се назива интегралом са променљивом горњом границом.

Став 11 (Основна теорема калкулуса). Нека је функција $f\in \mathcal{R}[a, b]$ и нека је $\displaystyle{\varphi(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}, x\in [a, b]}$. Тада:

1. функција $\varphi$ је непрекидна на сегменту $[a, b]$;
2. ако је функција $f$ непрекидна у тачки $x \in [a, b]$, онда је $\varphi$ диференцијабилна у тој тачки. При том важи: $$\varphi'(x)=f(x).$$

Нека је функција $f: [a, b]\longrightarrow \mathbb{R}$ непрекидна у тачки $x\in [a, b]$, и функција $$\Phi(x)=\int_{x}^{b}{f(t)dt}.$$ Одавде се може закључити да важи $$\Phi'(x)=\left(-\int_{b}^{x}{f(t)dt}\right)'=-f(x).$$

Последица 5. Ако је $f: [a, b]\longrightarrow \mathbb{R}$ непрекидна функција, онда је $$\varphi(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}, x\in[a, b],$$ њена примитивна функција.

Следећи аплет приказује интеграл функције са променљивом горњом (доњом) границом, као и график функције $f(x)$ и њене примитивне функције.

Пример 1. Наћи извод функције $\Phi(x)$ ако је

а) $\displaystyle{\Phi(x)=\int_{0}^{x}{e^{-t^2}dt}},$

б) $\displaystyle{\Phi(x)=\int_{\frac{\pi}{2}}^{2x}{\frac{\sin{t}}{t}dt}}.$

Решење:

Ниједан од ових интеграла се не може решити као неодређен, али то не значи да он не постоји, јер свака непрекидна функција има примитивну.

а) Нека је $$\int{e^{-t^2}dt}=F(t) + c /'$$ $$F'(t)=e^{-t^2}$$ Како је у питању одређени интеграл, важи: $$\Phi(x)=\left.F(t)\right|_{0}^{x}=F(x)-F(0),$$ где је $F(0)$ константа. Дакле, важи да је $$\Phi'(x)=F'(x)=e^{-x^2}.$$

б) Нека је $$\int{\frac{\sin{t}}{t}dt}=\left.F(t)+c \right/'$$ $$F'(t)=\frac{\sin{t}}{t}$$ Како је у питању одређени интеграл, важи: $$\Phi(x)=\left.F(t)\right|_{\frac{\pi}{2}}^{2x}= F(2x)-F(\frac{\pi}{2}),$$ где је $F(\frac{\pi}{2})$ константа. Дакле, важи да је $$\Phi'(x)=F'(2x)\cdot 2=2F'(2x)=\frac{\sin{2x}}{x}.$$

Теорема 12 (Њутн-Лајбницова формула). Нека је функција $f$ непрекидна на одсечку $[a, b]$ и нека је $F(x)$ било која примитивна функција за $f(x)$ на $[a, b]$. Онда важи: $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a).$$

Њутн-Лајбницова формула се најчешће пише у следећем облику: $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$

Пример 2. Решити одређени интеграл $\displaystyle{\int_{0}^{1}{\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}}dx}$.

Решење:

Прво ће бити решен неодређени интеграл. $$\int{\frac{e^x}{1+e^{2x}}dx}=\left[\begin{array}{clr} t=e^x /'\\ dt=e^xdx \end{array}\right]=\int{\frac{dt}{1+t^2}}=arctg{t}+ c = arctg{e^x}+c.$$ Нека је $F(x)=arctg{e^x}$. Тада је: $$ \int_{0}^{1}{\frac{e^x}{1+e^{2x}}dx}=arctg{e^x}|_{0}^{1}=arctg{e}-arctg{1}=arctg{e}-\frac{\pi}{4}. $$ У овом примеру је примењена Њутн-Лајбницова формула и на тај начин је добијено решење одређеног интеграла.

Геометријски, решење претходног примера значи да је коју гради са осом $Ox$ на сегменту $[0, 1]$ $arctge-\frac{\pi}{4}$.

Пример 3. Решити одређени интеграл $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\arcsin{x}dx}}$.

Решење:

Прво ће бити решен неодређени интеграл методом парцијалне интеграције. При томе мора бити $|x| < 1$ $$\int{\arcsin{x}dx}=\left[ \begin{array}{clr} u=\arcsin{x}/' & & dv=dx/\int{}\\ & \nwarrow &\\ du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx & \longleftrightarrow & v=x \end{array} \right]=$$$$=x\cdot\arcsin{x}-\int{\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}}=x\cdot\arcsin{x}+\sqrt{1-x^2}+c.$$ Нека је $F(x)=x\cdot\arcsin{x}+\sqrt{1-x^2}$. Према Њутн-Лајбницовој формули важи: $$\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\arcsin{x}dx}=(x\cdot\arcsin{x}+\sqrt{1-x^2})|_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\pi}{4}+1\right)-1.$$