Мотивација за увођење одређеног интеграла

Одређени интеграл хронолошки настаје и пре појма извода. Поједини проблеми из физике и геометрије воде до појма одређеног интеграла. Овде ће бити размотрен проблем површине. Криволинијски трапез је фигура у равни која је ограничена са и једним , при чему су две од тих дужи , а трећа на њих . Праве које су паралелне имају са луком криве највише једну заједничку .

У специјалном случају, или од паралелних дужи могу да се сведу на једну тачку и тада се добија криволинијски троугао. Поједине фигуре у равни је могуће разложити на две фигуре $F_1$ и $F_2$ и ако те фигуре имају површине $P(F_1)$ и $P(F_2)$, онда ће површина фигуре $F$ бити $$P(F)=P(F_1)+P(F_2).$$

Нека је у равни дат $F$. У тој равни ће бити изабран $xOy$ тако да страница тог трапеза која се налази наспрам његове $Ox$. Трапез се налази изнад осе $Ox$. Нека је $y=f(x), x\in[a, b]$, чији је график криволинијска страница трапеза, при чему су $a$ и $b$ крајева странице трапеза која припада оси $Ox$. Нека су $x_0, x_1, \ldots, x_n$ апцисе тачака на оси $Ox$ такве да је $$a=x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b.$$ Тим тачкама је подељен одсечак $[a, b]$ на следеће пододсечке $$[x_0, x_1], [x_1,x_2], \ldots, [x_{n-1},x_n]$$ па се уређена $(n+1)$-торка $(x_0, x_1, \ldots, x_n)$ назива одсечка $[a, b]$ и пише $P=\{x_0, x_1, \ldots, x_n\}$.

Нека је од тих пододсечака изабран произвољан, $[x_{i-1}, x_i]$, и нека је $\xi_i$ тог пододсечка. Биће конструисан чија је основа одсечак $[x_{i-1}, x_i]$, а $f(\xi_i)$.

Површина овог правоугаоника једнака је $$P_i=f(\xi_i)(x_i-x_{i-1}).$$ Ако се оваква конструкција изврши над сваким одсечком $[x_{i-1}, x_i], i=1, 2, \ldots, n$, добиће се фигура $S$ чија је површина једнака $$P(S)=\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})}.$$

Облик фигуре $S$ зависиће од поделе $P=\{x_0, x_1, \ldots, x_n\}$ и избора тачака $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$. Избор тачака је означен са $\xi=\{\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n\}$. Ако су ови одсечци ситни, фигура $S$ се неће много разликовати од криволинијског трапеза $F$. Нека је $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}, i=1, 2, \ldots, n$. Онда скуп $$\{\Delta x_1, \Delta x_2, \ldots, \Delta x_n\}$$ представља коначан скуп позитивних реалних бројева, па он садржи свој највећи елемент $$d=d(P)=\max{\{\Delta x_1, \Delta x_2, \ldots, \Delta x_n\}}.$$ Ако је $d$ довољно мали позитиван број, подеоци су ситни, а подела $P$ је фина. Ако се број $d$ смањује увођењем нових подеоних тачака, подеоци се даље и подела постаје све финија. При томе ће степенаста фигура која тако настаје све мање разликовати од криволинијског трапеза.

Дефиниција 3. Реалан број $S$ је површина криволинијског трапеза $F$ ако за свако $\varepsilon > 0$ постоји $\delta > 0$, такво да је за све поделе $P$ за које је $d(P) < \delta$ и за сваки избор тачака $\xi=\{\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n\}$ у одговарајућим пододсечцима испуњено $$\left|\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})-S}\right| < \varepsilon$$ односно, $$P(F)=S=\lim_{d\longrightarrow 0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})}}.$$