Интеграбилност и својства одређеног инеграла

Теорема 7. Свака непрекидна функција на сегменту $[a, b]$ је Риман интеграбилна на том сегменту.

Став 6. Свака монотона функција на сегменту је Риман интеграбилна.

Теорема 8. Нека је функција $f$ ограничена и непрекидна на сегменту $[a, b]$, сем у коначно много тачака прекида. Тада је $f$ интеграбилна на $[a, b]$.

Линеарност интеграла

Теорема 9. Нека су функције $f, g \in \mathcal{R}[a, b]$ и $\alpha\in\mathbb{R}$. Тада је $f\pm g\in \mathcal{R}[a, b]$ и $\alpha f\in \mathcal{R}[a, b]$. При томе важе једнакости:

1. $\displaystyle{\int_{a}^{b}{(f(x)\pm g(x))dx}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}\pm\int_{a}^{b}{g(x)dx}}$,
2. $\displaystyle{\int_{a}^{b}{\alpha f(x)dx}=\alpha\int_{a}^{b}{f(x)dx}}$.

Последица 2. Ако су $f, g\in \mathcal{R}[a, b]$ и $\alpha, \beta$ реални бројеви, онда $\alpha f +\beta g \in \mathcal{R}[a, b]$. При томе важи једнакост: $$\int_{a}^{b}{(\alpha f(x)+\beta g(x))dx}=\alpha\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\beta\int_{a}^{b}{g(x)dx}.$$

Теорема 10. Нека су $f, g\in \mathcal{R}[a, b]$. Тада важе следећа тврђења:

1. $fg\in \mathcal{R}[a, b]$;
2. $|f|\in \mathcal{R}[a, b]$;
3. $\frac{1}{f}\in \mathcal{R}[a, b]$ уз услов $|f(x)|\geq\alpha>0$ за $x\in[a, b]$;
4. $f\in R[\alpha, \beta]$ ако $[\alpha, \beta]\subset[a, b]$.

Адитивност интеграла

Став 7. Ако је функција $f\in \mathcal{R}[a, c]$ и $a < b < c$ онда је $f\in \mathcal{R}[a, b], f\in \mathcal{R}[b, c]$ и при томе важи једнакост $$\int_{a}^{c}{f(x)dx}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\int_{b}^{c}{f(x)dx}.$$

Нека је дата $f(x)$ на интервалу и нека постоји тачка $\in [a, c]$. Тада ће криволинијског трапеза на интервалу $[a, c]$ моћи да се запише као збир две површине - криволинијског трапеза на интервалу $[a, b]$ и криволинијског трапеза на интервалу $[b, c]$. Имајући у виду геометријску интерпретацију одређеног интеграла позитивне функције као површине криволинијског трапеза, важи да је функције на интервалу $[a, c]$ једнак функције на интервалима $[a, b]$ и $[b, c]$.

Дефиниција 6.

1. Ако је функција $f$ дефинисана у тачки $a$, онда је $\displaystyle{\int_{a}^{a}{f(x)dx}=0}$.
2. Ако је $a < b$ и интеграл $\displaystyle{\int_{a}^{b}{f(x)dx}}$ постоји, онда је $$\int_{b}^{a}{f(x)dx}=-\int_{a}^{b}{f(x)dx}.$$

Пример 1. Нека је функција $f: [-a, a] \longrightarrow \mathbb{R}$ непрекидна. Размотрити чему је задати интеграл једнак уколико је функција $f$ парна, односно, уколико је непарна.

Решење:

Познато је да је: $$ f(-x)=\left\{ \begin{array}{rlll} f(x), & f & је & парна \\ -f(x), & f & је & непарна. \end{array} \right. $$ Овде ће бити примењен став 7 и почетни интеграл ће бити записан као збир два интеграла. Добија се: $$\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=\int_{-a}^{0}{f(x)dx}+\int_{0}^{a}{f(x)dx}.$$ У први интеграл се уводи смена $x=-t$ одакле важи: $$\int_{-a}^{0}{f(x)dx}+\int_{0}^{a}{f(x)dx}=\left[ \begin{array}{clr} x=-t\\ dx=-dt\\ -a \longrightarrow a\\ 0 \longrightarrow 0 \end{array} \right]=$$ $$=-\int_{a}^{0}{f(-t)dt}+\int_{0}^{a}{f(x)dx}=\int_{0}^{a}{f(-t)dt}+\int_{0}^{a}{f(x)dx}$$ Биће размотрена два одвојена случаја: када је функција парна, односно непарна.

1. Функција $f$ је парна $$\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=\int_{0}^{a}{f(-t)dt}+\int_{0}^{a}{f(x)dx}=\int_{0}^{a}{f(t)dt}+\int_{0}^{a}{f(x)dx}=2\int_{0}^{a}{f(x)dx}.$$
2. Функција $f$ је непарна $$ \int_{-a}^{a}{f(x)dx}=\int_{0}^{a}{f(-t)dt}+\int_{0}^{a}{f(x)dx}=-\int_{0}^{a}{f(t)dt}+\int_{0}^{a}{f(x)dx}=0. $$

Напомена: Интеграл $\displaystyle{\int_{0}^{a}{f(t)dt}}$ и интеграл $\displaystyle{\int_{0}^{a}{f(x)dx}}$ су исти због тога што су им границе исте и узимају исти аргумент одговарајуће функције, само је име променљиве другачије.

Следећи аплет приказује графике парне и непарне функције и вредности интеграла које оне узимају.

Став 8. Нека тачке $a, b, c\in \mathbb{R}$ представљају крајеве трију сегмената. Ако је функција $f$ интеграбилна на највећем од тих сегмента, онда је она интеграбилна и на остала два. При томе важи једнакост: $$\int_{a}^{c}{f(x)dx}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\int_{b}^{c}{f(x)dx}.$$

Монотоност интеграла

Став 9. Ако је $f\in \mathcal{R}[a, b], a < b$ и $f(x)>0$ за $x\in[a, b]$, онда је $\displaystyle{\int_{a}^{b}{f(x)dx}\geq 0}$.

Последица 3. Ако је $f(x)\leq g(x)$, $x\in [a, b]$, $a < b$ и $f, g \in \mathcal{R}[a, b]$, онда је $\displaystyle{\int_{a}^{b}{f(x)dx}\leq\int_{a}^{b}{g(x)dx}}$.

Наведена последица има своју геометријску интерпретацију. Криволинијски трапез који гради има већу површину од криволинијског трапеза који гради .

Став 10. Ако је $f\in R[a, b], a < b$ онда важи: $$\left|\int_{a}^{b}{f(x)dx}\right|\leq \int_{a}^{b}{|f(x)|dx}.$$