Интеграција тригонометријских функција

Нека је дат интеграл облика $\int{R(\sin{x}, \cos{x})dx}$, где је $R$ рационална функција својих аргумената. Овај интеграл може се свести одговарајућим сменама на интеграл рационалне функције.

1) Смена $t=\displaystyle{tg{\frac{x}{2}}}$

Ако је $\displaystyle{tg{\frac{x}{2}}=t}$ онда је $x=2arctg{t}$. Уколико се диференцирају обе стране наведене једнакости добија се $$ dx=\frac{2dt}{1+t^2}. $$ Сада је потребно изразити функције $\sin{x}$ и $\cos{x}$ преко $t$. $$ \sin{x}=\frac{\sin{x}}{\sin^2{\frac{x}{2}}+\cos^2{\frac{x}{2}}}. $$ Уколико се и бројилац и именилац поделе са $\cos^2{\frac{x}{2}}$ добија се да је: $$ \sin{x}=\frac{2tg{\frac{x}{2}}}{1+tg^2{\frac{x}{2}}}=\frac{2t}{1+t^2}. $$ На исти начин добија се да је $\cos{x}$ једнако: $$ \cos{x}=\frac{1-tg^2{\frac{x}{2}}}{1+tg^2{\frac{x}{2}}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}. $$

Пример 1. Увођењем смене $t=tg{\frac{x}{2}}$ решити интеграл $\displaystyle{\int{\frac{dx}{5-4\sin{x}+3\cos{x}}}}$.

Решење:

Увођењем тражене смене добија се: $$ \int{\frac{dx}{5-4\sin{x}+3\cos{x}}}=\int{\frac{dt}{t^2-4t+4}}=\int{\frac{dt}{(t-2)^2}}=-\frac{1}{t-2}+c=\frac{1}{2-tg{\frac{x}{2}}}+c. $$

Следећи аплет приказује графике решења неодређеног интеграла из примера 1 за различите вредности константе $c$.

У неким случајевима постоје и погодније смене. Овде ће бити размотрени и ти случајеви.

2) Смена $t=tg{x}$

Ако је $R(-\sin{x},-\cos{x})=R(\sin{x},\cos{x})$ онда се интеграл $\int{R(\sin{x}, \cos{x})dx}$ своди на интеграл рационалне функције сменом $t=tg{x}$. Одавде је $x=arctg{t}$, па је $\displaystyle{dx=\frac{dt}{1+t^2}}$. Потребно је изразити сада функције $\sin{x}$ и $\cos{x}$ преко $t$. $$ \cos^2{x}=\frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}+\cos^2{x}}=\frac{1}{1+tg^2{x}}=\frac{1}{1+t^2}. $$ Одавде је: $$ \cos{x}=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}. $$ Вредност $\sin{x}$ добија се из тригонометријског идентитета $\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$. Биће: $$ \sin{x}=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}. $$

Пример 2. Увођењем смене $t=tg{x}$ решити интеграл $\displaystyle{\int{\frac{dx}{\sin^4{x}\cos^2{x}}}}$.

Решење:

Увођењем тражене смене добија се: $$ \int{\frac{dx}{\sin^4{x}\cos^2{x}}}=\int{\frac{1+2t^2+t^4}{t^4}dt}=\int{\frac{dt}{t^4}}+\int{\frac{2dt}{t^2}}+\int{dt}= $$ $$ =-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{t^3}-2\cdot\frac{1}{t}+t+c=tg{x}-\frac{2}{tg{x}}-\frac{1}{3tg^3{x}}+c. $$

Следећи аплет приказује графике решења неодређеног интеграла из примера 2 за различите вредности константе $c$.

3) Смена $t=\sin{x}$

Ако је $R(\sin{x},-\cos{x})=-R(\sin{x},\cos{x})$ тј. ако је дата рационална функција непарна по $\cos{x}$ тада је најбоља смена $t=\sin{x}$.

Пример 3. Увођењем одговарајуће смене решити интеграл $\displaystyle{\int{\frac{\sin{2x}+\cos{x}}{\sin^2{x}+1}}dx}$.

Решење:

Прво ће бити примењена адициона формула за синус двоструког угла, а потом ће се проверити која смена је најпогоднија за решавање овог интеграла. Добија се: $$ \int{\frac{\sin{2x}+\cos{x}}{\sin^2{x}+1}}dx=\int{\frac{2\sin{x}\cos{x}+\cos{x}}{\sin^2{x}+1}dx} $$ Подинтегрална функција је непарна по функцији $\cos{x}$, па ће бити уведена смена $t=\sin{x}$. Добија се да је почетни интеграл онда једнак: $$ \int{\frac{2t+1}{t^2+1}dt}=\ln{|t^2+1|}+arctg{t}+c =\ln{|\sin^2{x}+1|}+arctg{(\sin{x})}+c. $$

Следећи аплет приказује графике решења неодређеног интеграла из примера 3 за различите вредности константе $c$.

4) Смена $t=\cos{x}$

Уколико је $R(-\sin{x}, \cos{x}) = -R(\sin{x},\cos{x})$ тј. ако је дата рационална функција непарна по $\sin{x}$, тада је најбоља смена $t=\cos{x}$.

Пример 4. Увођењем одговарајуће смене решити интеграл $\displaystyle{\int{\sin^3{x}\cos^2{x}dx}}$.

Решење:

Уочава се да је подинтегрална функција непарна по функцији $\sin{x}$, па ће се увести смена $t=\cos{x}$. Добија се: $$ \int{\sin^3{x}\cos^2{x}dx}=\int{(1-\cos^2{x})\cos^2{x}\sin{x}dx}=\int{(t^4-t^2)dt}= $$ $$ =\frac{t^5}{5}-\frac{t^3}{3}+c=\frac{\cos^5{x}}{5}-\frac{\cos^3{x}}{3}+c $$

Следећи аплет приказује графике решења неодређеног интеграла из примера 4 за различите вредности константе $c$.