Примитивна функција

Дефиниција 1. Функција $F$ је примитивна функција за функцију $f$ на неком интервалу ако је $F$ диференцијабилна на том интервалу и за свако $x$ из тог интервала важи $$F'(x)=f(x).$$ Пример 1. Функција $F(x)=\sin{x}$ је примитивна функција за функцију $f(x)=\cos{x}$ за $x \in \mathbb{R}$ јер је $F'(x)=f(x), x \in \mathbb{R}$.

Пример 2. Функција $F(x)=x^2$ је примитивна функција за функцију $f(x)=2x$ на скупу $\mathbb{R}$. Међутим, функција $F_1(x)=x^2+1$ је такође примитивна функција за исту функцију на $\mathbb{R}$ јер важи $$F_1'(x)=(x^2+1)'=2x=f(x).$$

Из претходног примера се види да ако за дату функцију $f$ постоји примитивна функција на неком интервалу она није једнозначно одређена.

Теорема 1. Ако је $F(x)$ примитивна функција за $f(x)$ на неком интервалу онда је и $F(x)+c$, где је $c$ прозвољна константа, примитивна функција за $f(x)$ на том интервалу.

Теорема 2. Ако су $F(x)$ и $G(x)$ примитивне функције за функцију $f(x)$ у неком интервалу, онда је разлика $F(x)-G(x)$ константна у том интервалу.

Наведене теореме имају и своју геометријску инерпретацију. Ако је у координатном систему $xOy$ у равни скициран график једне од примитивних функција функције $f(x)$, онда ће свака крива у тој равни добијена транслацијом овог графика дуж $Oy$ осе представљати график функције која је примитивна функција за $f(x)$. На овај начин се добијају графици свих примитивних функција.

Следећи аплет представља неке од примитивних функција функције $f(x)=\sin{x}$.

Да би се из скупа свих примитивних функција за $f(x)$ издвојила једна одређена примитивна функција, мора се поставити додатни услов. То ће бити приказано на наредном примеру.

Пример 3. Наћи примитивну функцију функције $f(x)=x-2$ чији график садржи тачку $A(1, 1)$.

Решење:

Важи следеће: $$(x-2)=\left(\frac{1}{2}x^2\right)'-(2x)'=\left(\frac{1}{2}x^2-2x\right)'.$$ Одавде се може закључити да је једна од примитивних функција једнака $\displaystyle{F(x)=\frac{1}{2}x^2-2x}$. Произвољна примитивна функција је $$F(x)=\frac{1}{2}x^2-2x+c, x \in \mathbb{R}$$ Како график примитивне функције мора да садржи тачку $A(1, 1)$, додатни услов који функција мора да задовољи је $F(1)=1$, односно $$1=\frac{1}{2}\cdot 1^2-2\cdot 1 + c.$$ Одавде се добија да је $\displaystyle{c=\frac{5}{2}}$. Тражена примитивна функција је $$F(x)=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}.$$

Следећи аплет представља примитивну функцију за $f(x)=x-2$ која пролази кроз тачку $A$. Променом координата тачке $A$ добијају се друге примитивне функције које задовољавају овај услов.

Сада ће бити дефинисан неодређени интеграл.

Дефиниција 2. Скуп свих примитивних функција функције $f(x)$ назива се неодређеним интегралом функције $f(x)$ и означава се са $$\int{f(x)dx}.$$

У наведеној дефиницији, симбол $\int{}$ је знак интеграла, $f(x)$ се назива подинтегралном функцијом, док је $f(x)dx$ подитенгрални израз. Ако је $F(x)$ једна примитивна функција функције $f(x)$ на неком интервалу, онда се према теореми 1, може написати да је $$\int{f(x)dx}=F(x)+c.$$

Теорема 3. Нека је $F(x)$ примитивна функција функције $f(x)$ на неком интервалу. Тада је:

1. $d\left(\int{f(x)dx}\right)=f(x)dx$
2. $\int{f(x)dx}=\int{dF(x)}=F(x)+c$
3. $\int{k\cdot f(x)dx}=k\cdot\int{f(x)dx}, k \in \mathbb{R}\backslash \{0\}$
4. За функције $f(x)$ и $g(x)$ важи једнакост $\int{(f(x)+g(x))dx}=\int{f(x)dx}+\int{g(x)dx}$