Парцијална интеграција

Метод парцијалне интеграције најчешће се користи уколико је подинтегрална функција заправо извод производа две функције.

Теорема 5. Нека су $u(x)$ и $v(x)$ диференцијабилне функције и нека постоји примитивна функција функције $u'(x)v(x)$. Тада постоји примитивна функција функције $u(x)v'(x)$ и при томе важи једнакост: $$\int{u(x)dv(x)}=u(x)v(x)-\int{v(x)du(x)}.$$
Скраћени запис ове формуле који ће бити коришћен у примерима гласи: $$\int{udv}=uv-\int{vdu}.$$

Најчешће се користи скраћени запис ове формуле. Метод парцијалне интеграције се може користити ако је могуће наћи једну примитивну функцију $v(x)$ за $v'(x)$ и ако се зна израчунати $\int{v(x)du(x)}$. Овај метод се примењује ако су две интеграције једноставне.

Приликом коришћења ове методе треба водити рачуна о томе да се за $u(x)$ изабере функција чији је извод једноставан, под условом да се израз који после тога преостаје у подинтегралном изразу може једноставно интегралити.

Пример 1. Методом парцијалне интеграције решити интеграл $\int{x\cdot e^xdx}$.

Решење:

За наведени интеграл постоје два начина да се изврши парцијална интеграција. Овде ће бити приказана оба начина. Први, који ће подинтегралну функцију учинити сложенијом и други, који ће упростити подинтегралну функцију, што је и сврха примењивања парцијалне интеграције.

Пример 2. Методом парцијалне интеграције решити интеграл $\int{e^{ax}\cos{bx}dx}$.

Решење:

Нека је тражени интеграл једнак $I$. Биће примењена парцијална интеграција по формули. Парцијална интеграција ће бити примењена два пута и мора се водити рачуна о томе да се оба пута за $u(x)$ и $dv(x)$ узме исти тип функција. $$I=\int{e^{ax}\cos{bx}dx}=\left[ \begin{array}{clr} u=\cos{bx}/' & & dv=e^{ax}dx/\int{}\\ & \nwarrow &\\ du=-b\sin{bx}dx & \longleftrightarrow & v=\frac{1}{a}e^{ax} \end{array} \right]=$$ $$=\frac{1}{a}e^{ax}\cos{bx}+\frac{b}{a}\int{e^{ax}\sin{bx}dx}=\left[ \begin{array}{clr} u=\sin{bx}/' & & dv=e^{ax}dx/\int{}\\ & \nwarrow &\\ du=b\cos{bx}dx & \longleftrightarrow & v=\frac{1}{a}e^{ax} \end{array} \right]=$$ $$=\frac{1}{a}e^{ax}\cos{bx}+\frac{b}{a^2}e^{ax}\sin{bx}-\frac{b^2}{a^2}\int{e^{ax}\cos{bx}dx}=\frac{1}{a}e^{ax}\cos{bx}+\frac{b}{a^2}e^{ax}\sin{bx}-\frac{b^2}{a^2}I.$$ Одавде је $$\frac{a^2+b^2}{a^2}I=\frac{1}{a}\cdot e^{ax}\cos{bx}+\frac{b}{a^2}\cdot e^{ax}\sin{bx},$$ односно, $$I=\frac{a\cdot e^{ax}\cos{bx}+b\cdot e^{ax}\sin{bx}}{a^2+b^2}+c.$$

Пример 3. Методом парцијалне интеграције решити интеграл $\int{\ln{x}dx}$.

Решење:

Када је у питању интеграл функције $\ln{x}$ или било који други интеграл у коме се ова функција појављује, он се увек решава методом парцијалне интеграције. У наведеним случајевима, пошто интеграл функције $\ln{x}$ није познат, потребно је изабрати $u(x)=\ln{x}$. Дакле, $$ \int{\ln{x}dx}=\left[ \begin{array}{clr} u=\ln{x}/' & & dv=dx/\int{}\\ & \nwarrow &\\ du=\frac{dx}{x} & \longleftrightarrow & v=x \end{array} \right]=x\ln{x}-\int{dx}=x\ln{x}-x+c.$$

Следећи аплет приказује график подинтегралне функције $\ln{x}$ и решења неодређеног интеграла $\int{\ln{x}dx}$ за различите вредности константе $c$.

Пример 4. Методом парцијалне интеграције решити интеграл $\int{arctgxdx}$.

Решење:

Као и у претходном примеру, када је у питању интеграл функције $arctgx$ или било који други интеграл у коме се ова функција појављује као део подинтегралне функције, он се решава методом парцијалне интеграције. У наведеним случајевима, пошто интеграл функције $arctgx$ није познат, потребно је изабрати $u(x)=arctg{x}$. Дакле, $$ \int{arctgxdx}=\left[ \begin{array}{clr} u=arctgx/' & & dv=dx/\int{}\\ & \nwarrow &\\ du=\frac{dx}{1+x^2} & \longleftrightarrow & v=x \end{array} \right]=x\cdot arctgx - \int{\frac{xdx}{1+x^2}}. $$ Уколико се уведе смена $t=1+x^2$, добија се да је почетни интеграл једнак $$x\cdot arctgx-\int{\frac{dt}{2t}}=x\cdot arctgx-\frac{1}{2}\ln{|t|}+c=x\cdot arctgx-\frac{1}{2}\ln{|1+x^2|}+c.$$ Дакле, $$\int{arctgxdx}=x\cdot arctgx -\frac{1}{2}\ln{|1+x^2|}+c.$$

Пример 5. Методом парцијалне интеграције решити интеграл $\int{\sqrt{a^2+x^2}dx}$.

Решење:

Нека је полазни интеграл означен са $I$ и биће извршена парцијална интеграција. $$I = \int{\sqrt{a^2+x^2}dx}=\left[ \begin{array}{clr} u=\sqrt{a^2+x^2}/' & & dv=dx/\int{}\\ & \nwarrow &\\ du=\frac{xdx}{\sqrt{a^2+x^2}} & \longleftrightarrow & v=x \end{array} \right]=x\cdot \sqrt{a^2+x^2}-\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2+x^2}}dx}=$$ $$ =x\cdot\sqrt{a^2+x^2}-\int{\frac{a^2+x^2}{\sqrt{a^2+x^2}}dx}+\int{\frac{a^2}{\sqrt{a^2+x^2}}dx}= $$ $$=x\cdot\sqrt{a^2+x^2}-\int{\sqrt{a^2+x^2}dx}+a^2\cdot\ln{|x+\sqrt{x^2+a^2}|}. $$ У добијеном изразу се уочава полазни интеграл: $$ I=x\cdot\sqrt{a^2+x^2}-I+a^2\cdot\ln{|x+\sqrt{x^2+a^2}|}, $$ односно, $$ 2I=x\cdot\sqrt{a^2+x^2}+a^2\cdot\ln{|x+\sqrt{x^2+a^2}|}. $$ Дакле, решење полазног интеграла је: $$ I=\frac{1}{2}\left(x\cdot\sqrt{a^2+x^2}+a^2\cdot\ln{|x+\sqrt{a^2+x^2}|}\right)+c. $$

Следећи аплет приказује график подинтегралне функције и график решења неодређеног интеграла у зависности од константи $a$ и $c$. Променом вредности клизача и константе $c$ долази до промене графика наведених функција.

Пример 6. Методом парцијалне интеграције решити интеграл $\int{\sqrt{x^2-a^2}dx}$.

Решење:

Полазни интеграл биће означен са $I$ и биће извршена парцијална интеграција. $$ I=\int{\sqrt{x^2-a^2}dx}=\left[ \begin{array}{clr} u=\sqrt{x^2-a^2}/' & & dv=dx/\int{}\\ & \nwarrow &\\ du=\frac{xdx}{\sqrt{x^2-a^2}} & \longleftrightarrow & v=x \end{array} \right]=x\cdot\sqrt{x^2-a^2}-\int{\frac{x^2dx}{\sqrt{x^2-a^2}}}= $$ $$ =x\cdot\sqrt{x^2-a^2}-\int{\frac{x^2-a^2}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}-\int{\frac{a^2}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}= $$$$ =x\cdot\sqrt{x^2-a^2}-\int{\sqrt{x^2-a^2}dx}-a^2\ln{|x+\sqrt{x^2-a^2}|}=x\cdot\sqrt{x^2-a^2}-I-a^2\ln{|x+\sqrt{x^2-a^2}|}. $$ Добија се да је тражени интеграл једнак: $$ I=\frac{1}{2}\left(x\cdot\sqrt{x^2-a^2}-a^2\ln{|x+\sqrt{x^2-a^2}|}\right)+c. $$

Следећи аплет приказује график подинтегралне функције и график решења неодређеног интеграла у зависности од константи $a$ и $c$. Променом вредности клизача и константе $c$ долази до промене графика наведених функција.

Пример 7. Методом парцијалне интеграције решити интеграл $\displaystyle{I_n=\int{\frac{dx}{(1+x^2)^n}}}$.

Решење:

Биће размотрена два случаја, када је $n=1$ и када је $n>1$. У случају када је $n=1$, добија се таблични интеграл $\displaystyle{\int{\frac{dx}{1+x^2}}=arctgx+c}$.
Међутим, у случају када је $n>1$ потребно је послужити се методом парцијалне интеграције. $$ I_n=\int{\frac{dx}{(1+x^2)^n}}=\left[ \begin{array}{clr} u=\left.\frac{1}{(1+x^2)^n}\right/' & & dv=dx/\int{}\\ & \nwarrow &\\ du=-\frac{2nx}{(x^2+1)^{n+1}}dx & \longleftrightarrow & v=x \end{array} \right]= $$ $$ \frac{x}{(x^2+1)^n}+2n\int{\frac{(x^2+1-1)dx}{(x^2+1)^{n+1}}}=\frac{x}{(x^2+1)^n}+2n\left(\int{\frac{dx}{(x^2+1)^n}}-\int{\frac{dx}{(x^2+1)^{n+1}}}\right). $$ Одавде се добија да је $$ I_n=\frac{x}{(x^2+1)^n}+2n(I_n-I_{n+1}). $$ Дакле, рекурентна веза за наведени интеграл је $$ I_{n+1}=\frac{1}{2n}\cdot\frac{x}{(x^2+1)^n}+\frac{2n-1}{2n}I_n. $$ Ако је у питању рекурентна веза за $I_n$: $$ I_n=\frac{1}{2n-2}\cdot\left(\frac{x}{(x^2+1)^n}+(2n-3)I_{n-1}\right). $$