Метод смене

Теорема 4. Нека је $F: A \longrightarrow \mathbb{R}$ примитивна функција функције $f(t), t \in A$ и нека је $g: B \longrightarrow A$ диференцијабилна за $x \in B$, где су $A$ и $B$ интервали. Тада постоји примитивна функција функције $f(g(x))g'(x)$ и при том важи једнакост $$\int{f(g(x))g'(x)dx}=F(g(x))+c.$$

Пример 1. Методом смене решити интеграл $\int{\cos{ax}dx}, a \in \mathbb{R}$.

Решење:

У ситуацијама када се користи метода смене у интегралу, циљ је да се увођењем смене дати интеграл сведе на облик неког од табличних интеграла или на неки други погодан облик. У овом примеру, уводи се смена $t=ax$. Када се изврши диференцирање по $x$ добија се $dt=adx$,одакле је $\displaystyle{dx=\frac{1}{a}dt}$. Дакле, $$\int{\cos{ax}dx}=\int{\frac{1}{a}\cdot\cos{t}dt}=\frac{1}{a}\sin{t}+c=\frac{1}{a}\sin{ax}+c.$$

Следећи аплет приказује график подинтегралне функције и решење интеграла $\int{\cos{ax}dx}$ у зависности од константи $a$ и $c$. Променом вредности клизача и константе $c$ долази до промене графика наведених функција.

Применом исте смене као у претходном примеру решава се интеграл $\int{\sin{ax}dx}$.

Пример 2. Методом смене решити интеграл $\int{f(ax+b)dx}, a \in \mathbb{R}$.

Решење:

Приликом решавања овог интеграла уводи се смена $t=ax+b$ и добија се решење $$\int{f(ax+b)dx}=\frac{1}{a}\varphi(ax+b)+c.$$ Један од примера овог типа је и $$\int{(ax+b)^ndx}=\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+c.$$

Следећи аплет приказује график подинтегралне функције и нека од решења неодређеног интеграла $\int{(ax+b)^ndx}$ у зависности од константи $a, b, n$ и $c$. Померањем одговарајућих клизача мења се вредност одговарајућих константи и долази до промена на графику.

Пример 3. Методом смене решити интеграл $\displaystyle{\int{\frac{dx}{a^2+x^2}}}, a \in \mathbb{R}$.

Решење:

Пре увођења смене биће извршене одређене трансформације: $$\int{\frac{dx}{a^2+x^2}}=\int{\frac{dx}{a^2\left(1+\frac{x^2}{a^2}\right)}}=\int{\frac{dx}{a^2\left(1+(\frac{x}{a})^2\right)}}.$$ Наведени интеграл је сада сведен на погодан облик и може се увести смена $\displaystyle{t=\frac{x}{a}}$ којом се тражени интеграл своди на таблични. $$t=\left.\frac{x}{a}\right /' \Rightarrow dt=\frac{1}{a}dx \Rightarrow dx = adt$$ $$\int{\frac{dx}{a^2+x^2}dx}=\int{\frac{a\cdot dt}{a^2\cdot (1+t^2)}}=\frac{1}{a}\int{\frac{dt}{1+t^2}}=\frac{1}{a}\cdot arctg{t}+c=\frac{1}{a}\cdot arctg{\frac{x}{a}}+c.$$

Следећи аплет приказује график подинтегралне функције и график решења неодређеног интеграла у зависности од константи $a$ и $c$.

Пример 4. Методом смене решити интеграл $\displaystyle{\int{\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}}, a \in \mathbb{R}$.

Решење:

Као и у претходном примеру, биће извршене одговарајуће трансформације на датом интегралу. $$\int{\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}=\frac{dx}{\sqrt{a^2(1-(\frac{x}{a})^2})}=\frac{1}{a}\int{\frac{dx}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2}}}.$$ Уводи се смена $\displaystyle{t=\frac{x}{a}}$. $$ t=\left.\frac{x}{a}\right /' \Rightarrow dt=\frac{1}{a}dx \Rightarrow dx = adt $$ $$ \int{\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}=\frac{1}{a}\int{\frac{adt}{\sqrt{1-t^2}}}=\arcsin{t}+c = \arcsin{\frac{x}{a}}+c. $$

Следећи аплет приказује график подинтегралне функције и график решења неодређеног интеграла у зависности од константи $a$ и $c$.

Пример 5. Методом смене решити интеграл $\displaystyle{\int{\frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}}}, a \in \mathbb{R}$.

Решење:

Уводи се смена $$t = x+\sqrt{x^2\pm a^2} /' \Rightarrow \frac{dt}{t}=\frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}$$ $$\int{\frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}}=\int{\frac{dt}{t}}=\ln{|t|}+c=\ln{|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|}+c.$$

Следећи аплет приказује график подинтегралне функције и график решења неодређеног интеграла у зависности од константи $a$ и $c$.

Пример 6. Методом смене решити интеграл $\int{\sqrt{a^2-x^2}dx}, a \in \mathbb{R}$.

Решење:

Уводи се смена $x=a\sin{t}$. Одатле се закључује да је $\displaystyle{t=\arcsin{\frac{x}{a}}}$ и $\displaystyle{\cos{t}=\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}}$. Дакле, $$x=a\sin{t} /' \Rightarrow dx=a\cos{t}$$ $$\int{\sqrt{a^2-x^2}dx}=a\int{\sqrt{a^2-a^2\sin^2{t}}\cos{t}dt}=a^2\int{\sqrt{1-{\sin^2{t}}}\cos{t}dt}=a^2\int{{\cos^2{t}}dt}.$$ Сада је потребно решити интеграл $\int{\cos^2{t}dt}$. У овом случају, када је интегранда квадрат неке тригонометријске функције, потребно је искористити адиционе формуле за тригонометријске функције полууглова и на тај начин се ослободити квадрата. $$a\int{\cos^2{t}dt}=a^2\int{\frac{1+\cos{2t}}{2}dt}=\frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{4}\sin{2t}+c=\frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{2}\cdot\sin{t}\cos{t}+c= $$ $$=\frac{a^2}{2}\arcsin{\frac{x}{a}}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+c.$$ Добијено решење важи под условима да је $-a < x < a $ и $\displaystyle{-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}}$.

Следећи аплет приказује график подинтегралне функције и график решења неодређеног интеграла у зависности од константи $a$ и $c$.