Интеграција рационалних функција

Нека је дата рационална функција $\displaystyle{\frac{P(x)}{Q(x)}}$. Постоје два случаја: у првом случају, уколико је степен полинома $P(x)$ мањи од степена полинома $Q(x)$ дата функција се назива правим разломком. У другом случају, уколико је степен полинома $P(x)$ већи од степена полинома $Q(x)$, може се извршити дељење полинома $P(x)$ полиномом $Q(x)$ и на тај начин полином $P(x)$ се записује у облику: $$P(x)=S(x)\cdot Q(x)+R(x),$$ при чему је степен полинома $R(x)$ мањи од степена полинома $Q(x)$. Сада рационална функција са почетка изгледа овако: $$\frac{P(x)}{Q(x)}=S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)},$$ односно, може се записати као збир полинома и правог разломка. Уколико се тражи интеграл рационалне функције $\displaystyle{\int{\frac{P(x)}{Q(x)}dx}}$, у другом случају то би била следећа једнакост: $$\int{\frac{P(x)}{Q(x)}dx}=\int{S(x)dx}+\int{\frac{R(x)}{Q(x)}dx}.$$ Како је интеграл полинома познат из таблице, овај проблем се своди на одређивање интеграла правог разломка. Да би се одредио интеграл правог разломка, за почетак, потребно је факторисати полином $Q(x)$ у имениоцу.

Пример 1. Размотрити решавање интеграла облика $\displaystyle{\int{\frac{dx}{x-a}}}$.

Решење:

Ово је интеграл рационалне функције, код кога се у бројиоцу налази константа, а у имениоцу полином првог степена. Уколико се уведе смена $t=x-a$ добија се $$\int{\frac{dx}{x-a}}=\left[\begin{array}{clr} t=x-a /'\\ dt=dx \end{array}\right]=\int{\frac{dt}{t}}=\ln{|t|}+c=\ln{|x-a|}+c.$$

Пример 2. Наћи интеграл $\displaystyle{\int{\frac{dx}{(x-a)^k}}}$, за $k>1$.

Решење:

Као и у претходном примеру, уводи се смена $t=x-a$. $$\int{\frac{dx}{(x-a)^k}}=\left[\begin{array}{clr} t=x-a /'\\ dt=dx \end{array}\right]=\int{\frac{dt}{t^k}}= \frac{1}{(1-k)t^{k-1}}+c=\frac{1}{(1-k)(x-a)^{k-1}}+c.$$

Следећи аплет приказује график решења неодређеног интеграла из примера 2 за различите вредности параметара $a, k$ и константе $c$.

Пример 3. Решити интеграл $\displaystyle{\int{\frac{xdx}{x^2+a^2}}}$, ако је $a \neq 0$.

Решење:

Уводи се смена $t=x^2+a^2$. Добија се: $$\int{\frac{xdx}{x^2+a^2}}=\left[\begin{array}{clr} t=x^2+a^2 /'\\ dt=2xdx \\ \frac{1}{2}dt=xdx \end{array}\right]=\frac{1}{2}\int{\frac{dt}{t}}=\frac{1}{2}\ln{|t|}+c=\frac{1}{2}\; \ln{|x^2+a^2|}+c.$$

Сада ће бити размотрен интеграл рационалне функције код које је степен полинома у бројиоцу већи од степена полинома у имениоцу.

Пример 4. Решити интеграл $\displaystyle{\int{\frac{x^3}{x^2+1}dx}}$.

Решење:

Како је степен полинома у бројиоцу већи од степена полинома у имениоцу, прво ће се извршити дељење полинома. Добија се: $$\int{\frac{x^3}{x^2+1}dx}=\int{xdx}-\int{\frac{xdx}{x^2+1}}=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\ln{|x^2+1|}+c.$$

Следећи аплет приказује график решења неодређеног интеграла из примера 4 за различите вредности константе $c$, као и график подинтегралне функције.

Сада ће бити наведене теореме које ће знатно помоћи приликом интеграљења рационалних функција.

Став 1. Полином $P(x)$ дељив је са $(x-a)$ ако и само ако је $Q(a)=0$.

Став 2. Сваки полином степена $n>1$ има тачно $n$ нула, реалних или комплексних.

Међу $n$ нула полинома $Q(x)$ може бити и једнаких. Према томе, ако су $a_1, a_2, \ldots, a_m$ све различите нуле полинома $$Q(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+ \ldots + c_1x+c_0,$$ онда се може написати $$Q(x)=c_n(x-a_1)^{k_1}(x-a_2)^{k_2}\cdots(x-a_m)^{k_m}, k_1+k_2+\ldots+k_m=n,$$ при чему се број $k_i$ назива редом нуле $a_i$.

Пример 5. Решити интеграл $\displaystyle{\int{\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}}}$, за $n>1,a \neq 0$.

Решење:

Израз у имениоцу биће трансформисан: $$\int{\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}}=\frac{1}{a^{2n}}\; \int{\frac{dx}{\left(\left(\frac{x}{a}\right)^2+1\right)^n}}=\left[\begin{array}{clr} t=\frac{x}{a} /'\\ dt=\frac{1}{a}dx \\ dx=adt \end{array}\right]=\frac{1}{a^{2n-1}}\int{\frac{dt}{(t^2+1)^n}}.$$ Добијени интеграл је већ размотрен у ранијем примеру, па важи: $$ \int{\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}}=\frac{1}{a^{2n-1}}\cdot\frac{1}{2n-2}\cdot\left(\frac{\frac{x}{a}}{(\left(\frac{x}{a}\right)^2+1)^{n-1}}+(2n-3)I_{n-1}\right), $$ за $n=2,3,\ldots$.

Следећи аплет приказује график решења неодређеног интеграла из примера 5 за различите вредности броја $n$ и броја $a$.

Пример 6. Решити интеграл $\displaystyle{\int{\frac{xdx}{(x^2+a^2)^n}}}$.

Решење:

У наведеном примеру уводи се смена $t=x^2+a^2$, одакле је $\displaystyle{xdx=\frac{dt}{2}}$. Добија се: $$ \int{\frac{xdx}{(x^2+a^2)^n}}=\frac{1}{2}\int{\frac{dt}{t^n}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{t^{-n+1}}{-n+1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(1-n)t^{n-1}}+c=-\frac{1}{2(n-1)\cdot(x^2+a^2)^{n-1}}+c. $$

Следећи аплет приказује график решења неодређеног интеграла из примера 6 за различите вредности параметара $a, n$ и константе $c$. Померањем клизача добијају се различити графици подинтегралне функције и решења интеграла.

Став 3. Ако је комплексан број $z=\alpha + i\beta$ нула полинома $$Q(x)=\sum_{i=0}^{n}c_ix^i$$ са реалним коефицијентима $c_i$, онда је и њему конјугован број $\overline{z}=\alpha-i\beta$ такође нула полинома $Q(x)$.

Дакле, ако је $Q(x)$ полином са реалним коефицијентима и комплексном нулом $z_1=\alpha+i\beta$, тада он има и нулу $z_2=\alpha-i\beta$, па је дељив са $$(x-z_1)(x-z_2)=(x-(\alpha+i\beta))(x-(\alpha-i\beta))=x^2-2\alpha x+{\alpha}^2+{\beta}^2=x^2+px+q,$$ ако се узме да је $p=-2\alpha$, a $q={\alpha}^2+{\beta}^2, p, q \in \mathbb{R}$. Наведена квадратна једначина има дискриминанту мању од нуле. Сада се полином $Q(x)$ може написати у облику $$Q(x)= {(x-a_1)}^{k_1}{(x-a_2)}^{k_2}\cdots{(x-a_p)}^{k_p}{(x^2+b_1x+c_1)}^{l_1}\cdots{(x^2+b_qx+c_q)}^{l_q},$$ где је збир водећих степена променљиве $x$ једнак степену полинома $Q(x)$.

Одређивање параметара овог разлагања еквивалентно је налажењу свих нула полинома $Q(x)$. Рационалну функцију је могуће онда представити у облику збира извесног броја .

Може се приметити да је приликом овог разлагања степен полинома у бројиоцу мањи од степена полинома у имениоцу.

Пример 6. Решити интеграл $\displaystyle{\int{\frac{dx}{2x^2+4x+20}}}$

Решење:

У овом примеру, полином у имениоцу је нерастављив. У том случају, квадратни трином $x^2+2x+10$ биће написан у канонском облику $(x+1)^2+9$. $$\int{\frac{dx}{2x^2+4x+20}}=\int{\frac{dx}{2(x^2+2x+10)}}=\frac{1}{2}\;\int{\frac{dx}{x^2+2x+1+9}}=\frac{1}{2}\;\int{\frac{dx}{(x+1)^2+9}}=$$ $$\left[\begin{array}{clr} t=x+1 /'\\ dt=dx \end{array}\right]=\frac{1}{2}\;\int{\frac{dt}{t^2+3^2}}=\frac{1}{6}arctg{\frac{t}{3}}+c=\frac{1}{6}arctg{\frac{x+1}{3}}+c.$$

Пример 7. Решити интеграл $\displaystyle{\int{\frac{3x+2}{x^2+4x+9}dx}}$.

Решење:

Као и у претходном примеру, полином који се налази у имениоцу је нерастављив. Он ће бити записан у канонском облику $x^2+4x+9=(x+2)^2+5$, а потом ће бити уведена смена. $$\int{\frac{3x+2}{x^2+4x+9}dx}=\int{\frac{3x+2}{(x+2)^2+5}dx}=\left[\begin{array}{clr} t=x+2 /'\\ dt=dx \end{array}\right]=$$ $$=\int{\frac{3(t-2)+2}{t^2+5}dt}=\int{\frac{3t-4}{t^2+5}dt}=3\int{\frac{tdt}{t^2+5}}-4\int{\frac{dt}{t^2+5}}= $$$$=\frac{3}{2}\cdot\ln{|t^2+5|}-\frac{4}{\sqrt{5}}arctg{\frac{t}{\sqrt{5}}}+c=\frac{3}{2}\cdot\ln{|x^2+4x+9|}-\frac{4}{\sqrt{5}}arctg{\frac{x+2}{\sqrt{5}}}+c$$

Следећи аплет приказује график решења неодређеног интеграла из примера 7 за различите вредности константе $c$. Померањем клизача добијају се различити графици подинтегралне функције и решења интеграла.

Пример 8. Решити интеграл $\displaystyle{\int{\frac{2x^2+2x+13}{(x-2)(x^2+1)^2}}}$.

Решење:

Како је степен полинома у бројиоцу мањи од степена полинома у имениоцу, подинтегрални израз је прави разломак. Рационална функција ће се разложити на збир простих разломака на следећи начин: $$\frac{2x^2+2x+13}{(x-2)(x^2+1)^2}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+1}+\frac{Dx+E}{(x^2+1)^2}.$$ Уколико се обе стране наведене једнакости помноже са $(x-2)(x^2+1)^2$ и изједначе коефицијенти уз одговарајуће степене, онда се почетни интеграл може раставити на збир интеграла простих разломака. $$\int{\frac{2x^2+2x+13}{(x-2)(x^2+1)^2}dx} = \int{\frac{dx}{x-2}}-\int{\frac{x+2}{x^2+1}dx}-\int{\frac{3x+4}{(x^2+1)^2}dx}.$$ Први интеграл је једнак: $$\int{\frac{dx}{x-2}}=\ln{|x-2|}.$$ Други интеграл ће прво бити написан као збир два интеграла, а потом решен: $$\int{\frac{x+2}{x^2+1}dx}=\int{\frac{xdx}{x^2+1}}+2\int{\frac{dx}{x^2+1}}=\frac{1}{2}\cdot\ln{|x^2+1|}+2arctg{x}.$$ Трећи интеграл се такође раставља на два интеграла и добијају се интеграли познати од раније: $$\int{\frac{3x+4}{(x^2+1)^2}dx}=3\int{\frac{xdx}{(x^2+1)^2}}+4\int{\frac{dx}{(x^2+1)^2}}=-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x^2+1}+2\cdot\frac{x}{x^2+1}+2arctg{x}.$$ Решење почетног интеграла је онда $$\int{\frac{2x^2+2x+13}{(x-2)(x^2+1)^2}dx}=\ln{|x-2|}-\frac{1}{2}\cdot\ln{|x^2+1|}-4arctg{x}+\frac{3}{2(x^2+1)}-\frac{2x}{x^2+1}+c.$$