Интеграција ирационалних функција

Ирационалне функције такође се могу појавити као део подинтегралне функције. Коришћењем одговарајућих смена, интеграле чије подинтегралне функције садрже корене могуће је свести на случај интеграције рационалних функција.

Размотриће се прво случај када се под кореном налазе линеарне функције тј. уколико је тражени интеграл облика: $$\int{R\left(x,\sqrt[n_1]{\frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta}},\ldots,\sqrt[n_k]{\frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta}}\right)},$$ где је са $R$ означена рационална функција својих аргумената, а $n_1, n_2, \ldots, n_k$ су природни бројеви. Нека је $n=NZS(n_1, \ldots,n_k)$. Биће уведена смена $$t^n=\frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta}.$$ Тада је $$x=\frac{\delta t^n-\beta}{\alpha-\gamma t^n}=\varphi(t),$$ $$dx=\varphi'(t)dt,$$ па се наведени интеграл своди на интеграл рационалне функције.

Пример 1. Решити интеграл $\displaystyle{\int{\frac{\displaystyle{dx}}{\displaystyle{\sqrt{2x-1}-\sqrt[4]{2x-1}}}}}$.

Решење:

Тражени интеграл је интеграл ирационалне функције. Уводи се смена $t=\sqrt[4]{2x-1}$. Добија се: $$\int{\frac{\displaystyle{dx}}{\displaystyle{\sqrt{2x-1}-\sqrt[4]{2x-1}}}}=\left[\begin{array}{clr} t=\sqrt[4]{2x-1} /'\\ dx=2t^3dt \end{array}\right]=\int{\frac{2t^3}{t(t-1)}dt}=2\left(\int{(t+1)dt}+\int{\frac{dt}{t-1}}\right)=$$ $$=2\left(\frac{t^2}{2}+t+\ln{|t-1|}\right)+c=t^2+2t+2\ln{|t-1|}+c=\sqrt{2x-1}+2\sqrt[4]{2x-1}+2\ln{|\sqrt[4]{2x-1}-1|}+c.$$

За унету вредност константе $c$ приказују се одговарајућа решења интеграла и графици функција тих решења.

Сада ће бити размотрен случај када је поткорена величина полином другог степена. Тада се уводе Ојлерове смене. Нека је дат интеграл облика $$\int{R(x, \sqrt{ax^2+bx+c})}.$$

Прва Ојлерова смена

У случају када је $a>0$ уводи се смена $\sqrt{ax^2+bx+c}=t+x\sqrt{a}$. Уколико се квадрирају обе стране једнакости, добиће се да је $\displaystyle{x = \frac{t^2-c}{b-2\sqrt{a}t}=R_1(t)}$. Одавде је $dx=R'_1(t)dt$ и интеграл $\int{R(x, \sqrt{ax^2+bx+c})}$ се своди на интеграл рационалне функције.

Пример 2. Решити интеграл $\displaystyle{\int{\frac{dx}{x+\sqrt{x^2-x+1}}}}$.

Решење:

Како је број који стоји уз $x^2$ већи од нуле, уводи се смена $\sqrt{x^2-x+1}=x+t$. Важи следеће: $$ \int{\frac{dx}{x+\sqrt{x^2-x+1}}}=\left[\begin{array}{clr} \sqrt{x^2-x+1}=x+t\\ x=\left.\frac{1-t^2}{2t+1} \right/'\\ dx=\frac{-2t^2-2t-2}{(2t+1)^2}dt \end{array}\right]=-2\int{\frac{t^2+t+1}{(2t+1)(t+2)}dt}= $$$$ =\int{-dt}+\int{\frac{3t}{(2t+1)(t+2)}dt}=-t-\int{\frac{dt}{2t+1}}+2\int{\frac{dt}{t+2}}=-t-\frac{1}{2}\ln{|2t+1|}+2\ln{|t+2|}+c. $$ Коначно решење се добија када се стави да је $t=\sqrt{x^2-x+1}-x$.

За унету вредност константе $c$ приказују се одговарајућа решења интеграла и графици функција тих решења.

Друга Ојлерова смена

У случају када је $c>0$ уводи се смена $\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}$. Квадрирањем се добија да је $\displaystyle{x = \frac{b-2t\sqrt{c}}{t^2-a}=R_2(t)}$. Одавде је $dx = R'_2(t)dt$ и интеграл $\int{R(x, \sqrt{ax^2+bx+c})}$ се своди на интеграл рационалне функције.

Трећа Ојлерова смена

Ако су $x_1, x_2$ међусобно различити реални корени квадратне једначине $ax^2+bx+c=0$ онда се сменом $\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-x_1)$ интеграл $\int{R(x, \sqrt{ax^2+bx+c})}$ своди на интеграл рационалне функције. Тада је $\displaystyle{x=\frac{ax_2-t^2x_1}{a-t^2}=R_3(t)}$, односно, $dx=R'_3(t)dt$.

Прва и трећа Ојлерова смена су довољне за налажење било ког интеграла наведеног типа.

Пример 3. Решити интеграл $\displaystyle{\int{\frac{dx}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}}}}$.

Решење:

Овде се појављује поткорена величина која има две реалне нуле. Према томе, уводи се трећа Ојлерова смена. $$\int{\frac{dx}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}}dx}=\left[\begin{array}{clr} \sqrt{1-x^2}=t(x+1)\\ \displaystyle{x=\left.\frac{1-t^2}{t^2+1}\right/'}\\ dx=\frac{-4tdt}{(t^2+1)^2} \end{array}\right]=-\int{\frac{t^2+1}{t^4+1}dt}=$$ $$=-\int{\frac{t^2+1}{(t^2-t\sqrt{2}+1)(t^2+t\sqrt{2}+1)}dt}=-\frac{1}{2}\int{\frac{dt}{t^2+t\sqrt{2}+1}}-\frac{1}{2}\int{\frac{dt}{t^2-t\sqrt{2}+1}}=$$ $$=-\frac{\sqrt{2}}{2}arctg{(t\sqrt{2}+1)}-\frac{\sqrt{2}}{2}arctg{(t\sqrt{2}-1)}+c.$$ Коначно решење се добија када се стави да је $t=\displaystyle{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}$.

Следећи аплет приказује решења неодређеног интеграла из примера 3 за различите вредности константе $c$.

Постоје случајеви када је могуће избећи Ојлерову смену. Уколико се размотри интеграл облика $$\int{\frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx},$$ где је $P_n(x)$ полином степена $n$, онда се тај интеграл може решити применом формуле $$ \int{\frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx}=Q_{n-1}(x)\cdot\sqrt{ax^2+bx+c}+\lambda\cdot\int{\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}}, $$ где је $Q_{n-1}(x)$ полином степена $n-1$, а $\lambda$ број. Уколико се изврши операција диференцирања на обе стране наведене једнакости могу се добити константе полинома $Q_{n-1}(x)$ и константа $\lambda$.

Пример 4. Применом наведене формуле решити интеграл $\displaystyle{\int{\frac{2x^2+5x+1}{\sqrt{x^2+4x-3}}dx}}$.

Решење:

Тражени интеграл ће бити разложен по формули: $$ \int{\frac{2x^2+5x+1}{\sqrt{x^2+4x-3}}dx}=(Ax+B)\sqrt{x^2+4x-3}+\lambda\int{\frac{dx}{\sqrt{x^2+4x-3}}}. $$ Након диференцирања обе стране једнакости биће: $$ \frac{2x^2+5x+1}{\sqrt{x^2+4x-3}}=A\cdot\sqrt{x^2+4x-3}+(Ax+B)\cdot\frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x-3}}+\frac{\lambda}{\sqrt{x^2+4x-3}}. $$ Свођењем на заједнички именилац добија се да је: $$ 2x^2+5x+1\equiv A(x^2+4x-3)+(Ax+B)(x+2)+\lambda, $$ односно, $$ 2x^2+5x+1\equiv 2Ax^2+(6A+B)x+(-3A+2B+\lambda). $$ Изједначавањем коефицијената уз одговарајуће степене променљиве $x$, добија се систем: $$ 2A = 2 $$ $$6A+B=5$$ $$-3A+2B+\lambda=1$$ Решење система једначина је $A=1,B=-1,\lambda=6$. Дакле, почетни интеграл се може записати у облику: $$ \int{\frac{2x^2+5x+1}{\sqrt{x^2+4x-3}}dx}=(x-1)\sqrt{x^2+4x-3}+6\int{\frac{dx}{\sqrt{(x+2)^2-7}}}= $$ $$ =(x-1)\sqrt{x^2+4x-3}+6\ln{|x+2+\sqrt{(x+2)^2-7}|}+c. $$

Следећи аплет приказује решења неодређеног интеграла из примера 4 за различите вредности константе $c$.