Da bi postojala inverzna funkcija od funkcije $f : A \rightarrow B$ neophodne su dve pretpostavke.
– Funkcija $f$ preslikava različite elemente skupa $A$ u različite elemente skupa $B$.
– Svaki element skupa $B$ je slika nekog elementa skupa $A$.
U tom slučaju možemo definisati funkciju $g : B \rightarrow A$ tako da vredi
$$f(g(y)) = y, \forall y \in B$$
$$g(f(x)) = x, \forall x \in A$$
ako za funkciju $f$ postoji takva funkcija $g$, tada je njihova kompozicija identitet, t.j. funkcija koja preslikava svaki element u samog sebe
Zato funkciju $g$ zovemo inverzna funkcija i koristimo oznaku $f^{−1}$
Grafik inverzne funkcije $f^{−1}$ je slika grafika funkcije $f$ u odnosu na pravac $y = x$.
Ako je tačka $(x, y)$ element grafika funkcije $f(x)$
$$y = f(x) \Rightarrow x = f^{−1}(y),$$
onda je tačka $(y, x)$ element grafika funkcije $f^{−1}.$
Primer 1. Inverz funkcije $f(x) = 2x − 1$
- oblast definicije ove funkcije je celi skup realnih brojeva
- slika funkcije je takođe celi skup realnih brojeva
- za ovu funkciju je ispunjena i druga pretpostavka postojanja inverzne funkcije
$$x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2})$$
Sve pretpostavke postojanja inverzne funkcije su ispunjene.
$$f(x) = 2x − 1 \Rightarrow y = 2x − 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}y + \frac{1}{2} \Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$$
Primer 2. Inverz funkcije $f(x) = x^{2}$
- oblast definicije ove funkcije je celi skup realnih brojeva
- slika funkcije je podskup skupa realnih brojeva
$$f(R) = \{x \in R : x \geq 0\}$$
koji sadrži samo pozitivne realne brojeve i nulu.
Svaki element slike funkcije $f(R)$ je slika nekog elementa područja definicije $R$.
Druga pretpostavka postojanja inverzne funkcije nije ispunjena jer se različiti elementi iz oblasti definicije mogu preslikati u isti element slike funkcije, npr. $f(−3) = f(3).$
Ovako definisana funkcija $f(x) = x^{2}$ nema inverznu funkciju.
Ograničimo sada oblast definicije na realne brojeve $x \geq 0$
$$f : \{x \in R : x \geq 0\} \rightarrow \{x \in R : x \geq 0\}$$
Ograničavanjem oblasti definicije, uklonili smo problem.
Za funkciju $$f : \{x \in R : x \geq 0\} \rightarrow \{x \in R : x \geq 0\} , f(x) = x^{2}$$ bez problema možemo naći inverz $$y = x^{2} \Rightarrow x = +\sqrt{y}$$ Izabrali smo pozitivan predznak jer smo oblast definicije ograničili na $x \geq 0$.
Da smo napravili ograničenje $x \leq 0$ izabrali bi negativan predznak.