Definicija funkcije

Posmatrajmo realne funkcije realne promenljive. Za definiciju funkcije potrebna su nam dva podskupa skupa realnih brojeva. Označimo ih sa $A$ i $B$.

Definicija: Funkcija ili preslikavanje iz skupa $A$ u skup $B$ je svako pravilo $f$ po kome se elementu $x \in A$ pridružuje jedinstveni element $y \in B$. Koristimo oznake $$f: A \rightarrow B, y=f(x)$$

Neka sa nam dati skupovi i i funkcija koja preslikava skup $A$ u skup $B$. $f$ je funkcija, ako svaki element iz skupa $A$ ima sliku u skupu $B$. Može se desiti da se više elemenata iz skupa $A$ u jedan element u skup $B$. Ali ne sme se desiti da se jedan element u skupu $A$ u više elemenata u skupu B. Osim toga, u skupu $B$ možemo imati koji nisu slika nijednog elementa iz skupa $A$.
Skup $A$ je funkcije $x \in A$. Koristićemo oznaku $D(f)$. To je skup na kome je funkcija definisana gledajući s leva na desno duž $x$-ose. Elementi $x\in A$ su originali, argumenti ili nezavisne promenljive.
Skup $B$ nazivamo funkcije. Koristićemo oznake $f(A) = f(D ) = R (f) = Im(f)$. To je skup vrednosti funkcije gledajući duž $y$-ose od dole na gore. Elementi $y$ iz $B$ su slike, vrednosti funkcije ili zavisne promenljive.

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Definicija: Neka su $A$ i $B$ dva neprazna skupa. Kažemo da je $f$ preslikavanje skupa $A$ u skup $B$, oznakom $f : A \rightarrow B$, ako je svakom elementu $x\in A$ pridružen nekim pravilom $f$ po jedan element $y\in B$, oznakom $f : x\rightarrow{y}$.

Definicija: Neka je $f : A \rightarrow B$, t.j. $D (f) = A$, $f(D ) \subseteq B$.
a) Preslikavanje $f$ je surjektivno (surjekcija) ili preslikavanje sa $A$ na $B$, ako je $f(D ) =B$, t.j. ako je svako $y \in B$ slika nekog $x \in A$:
$$(\forall y \in B) (\exists x \in A) f(x) = y.$$
b) Preslikavanje $f$ je injektivno (injekcija), ako različiti originali imaju različite slike, t.j. ako
$$(\forall x_{1}, x_{2} \in A) x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2}),$$
što je ekvivalentno sa
$$(\forall x_{1}, x_{2} \in A) f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}.$$
Primer 1.
Funkcija $i_{x}: X \rightarrow Y$, identitet, definisana sa $i_{x}(x)=x$ za svaki $x \in X$.

c) Kažemo da je preslikavanje $f$ bijektivno (bijekcija) ako je injektivno i surjektivno, t.j. ako vredi
$$1. (\forall y \in B) (\exists x \in A) f(x) = y,$$ $$2. (\forall x_{1}, x_{2} \in A) f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}.$$
Primeri:
a) $y=x$, $ln x$ su injektivne funkcije na prirodnom području definicije.
b) $y=x^2$, $sin x$ nisu injektivne funkcije.

Restrikcija preslikavanja: Neka je $f : A \rightarrow B$, $X \subseteq A$. Onda je skup $f(X) = \{f(x) : x \in X\}f$ – slika podskupa $X$. Očigledno je $f(X) \subseteq B$ . Ograničimo li se u delovanju $f$ na podskup $X$, dobijamo novo preslikavanje koje zovemo restrikcijom ili suženjem preslikavanja $f$ na $X$, oznakom $f\mid_{X}$. Dakle za $g = f\mid_{X}$ vredi $D(g) = X$, $g(D) = f(X)$ i $g(x) = f(x)$ za svaki $x \in X$.

Definicija: Ako je $D_{g} \subseteq D_{f}$ i $g(x)=f(x)$ za svaki $x \in D_{g}$, funkcija $g$ je restrikcija ili suženje funkcije $f$, a funkcija $f$ je ekstenzija ili proširenje funkcije $g$.

Primer 1.
Funkcija $g(x)=\frac{x^{2}}{x}$ je restrikcija funkcije $f(x)=x$ na skup $D_{g}=R$\$ \{0\}$, odnosno $g=f|_{D_{g}}$, a funkcija $f$ je ekstenzija funkcije $g$. Primetimo da je restrikcija uvek jedinstvena, dok ekstenzija to nije. Tako je u ovom slučaju i funkcija $f_{1}:R \rightarrow R$\$ \{0\}$ definisana sa $f_{1}(x)=x, x \neq 0$ i $f_{1}(x)=1, x=0$ je jedna od beskonačno mogućih ekstenzija funkcije $g$.