Јована Јездимировић,
Универзитет у Београду, Математички факултет

Елементарне функције

Основне елементарне функције су:

• Степена функција: f(x)= xⁿ , x ∈ R, за фиксно n ∈ N (специјално за n = 0 функција је константа);
- Нека је n паран број. Тада функција f има минимум у тачки x = 0, опада на интервалу (-∞, 0], расте на интервалу [0, ∞) и парна је.
- Нека је n непаран број. Тада функција f расте на R и непарна је.

• Полиноми
Функција f : C → C дефинисана са f(x) = P_n(x) = a₀ + a₁x+… + a_nxⁿ, (x ∈ C, n ∈ N) где су a₀, a₁,…a_n ∈ C, ако је а_n ≠ 0 се назива полином степена n.
Константа је полином нултог степена.
Бројеви a₀, a₁, …a_n су коефицијенти полинома P_n (x).
Нула полинома P_n (x) је број x₀ ∈ C такав да је P_n (x₀) = 0.
График полинома P₁(x) = a₀ + a₁x, a₁ ≠ 0, a₀, a₁, x ∈ R је права, а график полинома P₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x²,
a₂ ≠ 0, a₀, a₁, a₂, x ∈ R је парабола.

Теорема (Основни став алгебре): Сваки полином степена n е N, има тачно n нула, међу којима може бити и једнаких.

• Експоненцијална функција: f(x) = а^x, x ∈ R, a > 0 и a ≠ 1;
Функција f(x) = а^x (а > 0 и а ≠ 1) монотоно опада за а < 1 и монотоно расте за а > 1. Функција f(x) = а ^x је позитивна за све x ∈ R.

• Логаритамска функција: f(x) = log_ax, x ∈ R₊, а > 0 и а ≠ 1;
Функција f(x) = log_ax, x ∈ R₊, где је x > 0 и а > 0 и а ≠ 1 је инверзна функција за функцију f(x) = а^x јер је a^log_ax = x. Функција f(x) = log_ax, монотоно опада за 0 < а < 1 и монотоно расте за а > 1.

• Тригонометријске функције:
f(x) = sinx , x ∈ R;
f(x) = cosx , x ∈ R;
f(x) = tgx , x ∈ R\{((2k+1)π)/2 | k ∈ Z};
f(x) = ctgx , x ∈ R\{kπ | k ∈ Z};

• Инверзне тригонометријске функције ( циколометријске или аркус функције ):
f(x) = arcsinx , x ∈ [-1, 1];
f(x) = arccosx , x ∈ [-1, 1];
f(x) = arctgx , x ∈ R;
f(x) = arcctgx , x ∈ R;

• Рационалне функције
Количник полинома P_n i Q_m , R(x) = P_n (x)/Q_m (x) се назива рационална функција.
Ако је n < m кажемо да је R(x) права рационална функција. Свака рационална функција се може изразити као збир једног полинома и једне праве рационалне функције.

Елементарне функције се добијају применом коначног броја алгебарских операција: сабирања, одузимања, множења и дељења, као и коначно много операција композиције на основне елементарне функције.