Јована Јездимировић,
Универзитет у Београду, Математички факултет

Гранична вредност функције

Већ поменути, познати француски математичар, Огистен Коши је након увођења концепта и дефиниције граничне вредности низа бројева једноставно прешао и на дефинисање граничне вредности функције.
Граничну вредност функције у некој тачки је посматрао као граничну вредност свих низова (x_n), где је (x_n) произвољан низ који тежи ка x.
Да бисмо одредили вредност функције f када је назависно променљива x “врло близу” тачке а и при том уочили одерeђене законитости, посматрамо следећи пример:

Дата је функција f(x) = x². Нека се x “приближава” тачки 2 тако да узима вредности из следећих интервала око тачке 2:
(2-0.1, 2+0.1),
(2-0.01, 2+0.01) ,
(2-0.001, 2+0.001) ,
(2-0.0001, 2+0.0001) ,
(2-0.00001, 2+0.00001). Тада:

Ако је 1.9 < x < 2.1 тада је 3.61< f(x) <4.41.
Ако је 1.99 < x < 2.01 тада је 3.96< f(x) <4.04.
Ако је 1.999 < x < 2.001 тада је 3.996< f(x) <4.004.
Ако је 1.9999 < x < 2.0001 тада је 3.9996< f(x) <4.0004.
Ако је 1.99999 < x < 2.00001 тада је 3.99996< f(x) <4.00004.

Ако уведемо ознаке ε и δ за “мале” позитивне бројеве, тада претходна тврђења можемо записати у облику:

• Ако је 2- δ < x < 2+ δ, тада је 4-ε < f(x) < 4+ε. На пример, за ε = 0.04 је δ = 0.01. Дакле,
• Ако је x ∈ (2- δ, 2+ δ), тада је f(x) ∈ (4-ε, 4+ε).

Можемо рећи да када се x “приближава” броју 2, f(x) се приближава броју 4.