Диференцијални рачун
Почетна страна »
Функције »
Низови »
Гранична вредност »
• Дефиниција »
• Особине »
Непрекидност функције »
Изводи »
Примена извода »
Јована Јездимировић,
Универзитет у Београду, Математички факултет
Дефиниција граничне вредности функције
Дефиниција: Нека скуп A ⊂ R има бесконачно много чланова. Тачка x0 је тачка нагомилавања скупа А, ако за свако ε > 0 интервал (x0-ε, x0+ε) садржи бар један елемент из скупа А различит од x0.
Примери:
1. Тачка нагомилавања скупа А = {1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...} је 0.
2. Свака тачка затвореног интервала [a, b] је и његова тачка нагомилавања.
3. Свака тачка отвореног интервала (a, b) је и његова тачка нагомилавања, али и тачке a и b.
Дефиниција: Нека је x0 ∈ R тачка нагомилавања домена А функције f: A → R. Број L је гранична вредност функције f у тачки x0, ако важи:
( \forall \epsilon > 0) ( \exists \delta > 0) ( \forall x \in A) \qquad 0< \lvert x - x_0 \rvert < \delta \Rightarrow \lvert f(x) = L \rvert < \epsilon
Тада пишемо:
\lim_{x \rightarrow x_0, x \in A} f(x)=L
или:
f(x) \rightarrow L \qquad x \rightarrow x_0 \qquad x \in A
Напомена: Тачка x0 не морa припадати дефиниционом скупу А функције f , али мора бити тачка нагомилавања скупа А.
Десна гранична вредност ( респективно лева гранична вредност ) функције f у тачки x0 се добија тако што у претходној дефиницији посматрамо само оне вредности x ∈ А које су веће (респективно мање) од x0. Ако она постоји означава се са:
\lim_{x \rightarrow x_0, x \in A_{+}} f(x) \qquad ( \lim_{x \rightarrow x_0, x \in A_{-}} f(x) )
Где је А+ = А ∩ (x0, +∞) и А- = А ∩ (-∞, x0).
Теорема: Ако постоје лева и десна гранична вредност функције f: A → R у тачки x0 , потребан и довољан услов да функција f има граничну вредност у тачки x0 је да важе једнакости:
\lim_{x \rightarrow x_0, x \in A_{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0, x \in A_{-}} f(x) = L
и тада је:
L = \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)