Диференцијални рачун
Почетна страна »
Функције »
Низови »
Гранична вредност »
Особине »
• Асимптоте »
• Смена променљивих »
Непрекидност функције »
Изводи »
Примена извода »
Јована Јездимировић,
Универзитет у Београду, Математички факултет
Особине граничне вредности функције
Теорема: Нека су реалне функције f и g дефинисане на скупу A ⊂ R и нека је тачка x0 тачка нагомилавања скупа А. Ако претпоставимо да постоје граничне вредности:
\lim_{x \rightarrow x_0 , x \in A} f(x) = L \qquad \lim_{x \rightarrow x_0 , x \in A} g(x) = K
тада важе следеће једнакости:а) гранична вредност збира (респективно разлике) функција f и g једнака је збиру (респективно разлици) граничних вредности тих функција, тј.
\newline \lim_{x \rightarrow x_0 , x \in A} (f(x)+g(x)) = L + K
\newline \lim_{x \rightarrow x_0 , x \in A} (f(x)-g(x)) = L - K
б) гранична вредност производа функција f и g једнака је производу граничних вредности тих функција, тј.
\lim_{x \rightarrow x_0 , x \in A} (f(x) \cdot g(x)) = L \cdot K
в) гранична вредност количника функција f и g једнака је количнику граничних вредности тих функција, тј.
\lim_{x \rightarrow x_0 , x \in A} \frac {f(x)}{g(x)} = \frac {L}{K} \qquad K \neq 0
Теорема: Нека су реалне функције f и g дефинисане на скупу A ⊂ R и нека је тачка x0 тачка нагомилавања скупа А. Ако постоје граничне вредности:
\lim_{x \rightarrow x_0 , x \in A} f(x) = L \qquad \lim_{x \rightarrow x_0 , x \in A} g(x) = K
и за све x ∈ А \ {0} важи неједнакост f(x) ≤ g(x), тада је L ≤ K.
Теорема: Нека су реалне функције f, g и h дефинисане на скупу A ⊂ R и нека је тачка x0 тачка нагомилавања скупа А. Ако постоје граничне вредности
\lim_{x \rightarrow x_0 , x \in A} f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0 , x \in A} g(x) = L
и за све x ∈ А \ {0} важи неједнакост f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), тада је
\lim_{n \rightarrow \infty} h(x) = L
Дефиниције о конвергенцији функције f у бесконачно:
Дефиниција: Нека домен А функције f: A → R садржи интервал (а, +∞) за неки реалан број а. Број L је гранична вредност функције f у +∞ ако:
\newline ( \forall \epsilon > 0 ) ( \exists T > a ) \qquad x>T \Rightarrow \lvert f(x) - L \rvert < \epsilon
\newline \lim_{x \to + \infty} f(x) = L
Дефиниција: Нека домен А функције f: A → R садржи интервал (-∞, b) за неки реалан број b. Број L је гранична вредност функције f у -∞ ако:
\newline ( \forall \epsilon > 0 ) ( \exists T < b ) \qquad x < T \Rightarrow \lvert f(x) - L \rvert < \epsilon \newline \lim_{x \to - \infty} f(x) = L
Дефиниције о дивергенцији функције f у бесконачно:
Дефиниција: Нека домен А функције f: A → R садржи интервал (а, ∞) за неки реалан број а. Aко:
\newline ( \forall M > 0 ) ( \exists T > a ) \qquad x>T \Rightarrow f(x) > M
\newline \lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty
Дефиниција: Нека домен А функције f: A → R садржи интервал (x0, b) за некo b > x0. Ако:
\newline ( \forall M > 0 ) ( \exists \delta > 0 ) ( \forall x \in A) \qquad 0 < x - x_0 < \delta \Rightarrow f(x) > M
\newline \lim_{x \to x_{0+}} f(x) = + \infty
Пример: Одредити граничне вредности:
\newline 1. \lim_ {x \to + \infty} \frac{x^2 + \sqrt x +2}{2x^2 +5x}
\newline
\newline 2. \lim_ {x \to + \infty} ( \sqrt {x^4 + 2x^2 -1} - \sqrt {x^4 - 2x^2 -1} )
Решења:
\newline 1. \lim_ {x \to + \infty} \frac { x^ 2 + \sqrt x + 2}{2 x^2 + 5x } = \lim_ {x \to + \infty} \frac{ x^2 (1+ \frac {\sqrt x}{ x^2 } + \frac {2}{ x^2 })}{ x^2 ( 2 + \frac{ 5x }{ x^2 })}= \frac{1}{2}
\newline 2. \lim_ {x \to + \infty} ( \sqrt { x^4 + 2 x^2 - 1} - \sqrt {x^4 - 2 x^2 - 1} ) = \lim_ {x \to + \infty} \frac{x^4 + 2 x^2 -1 - x^4 +2 x^2 +1}{ \sqrt {x^4 + 2 x^2 -1} + \sqrt {x^4 - 2 x^2 -1}}= \lim_ {x \to + \infty} \frac{4 x^2 }{ x^2( \sqrt {1+ \frac{2 x^2}{x^4}+ \frac{1}{x^4}} + \sqrt{1- \frac{2 x^2}{x^4} - \frac{1}{x^4}})} = 2