Диференцијални рачун
Почетна страна »
Функције »
Низови »
Гранична вредност »
Особине »
• Асимптоте »
• Смена променљивих »
Непрекидност функције »
Изводи »
Примена извода »
Јована Јездимировић,
Универзитет у Београду, Математички факултет
Асимптоте графика функције
Дефиниција: Асимптота графика функције у +∞ (у -∞) је права y = kx + n за коју важи:
• Ако је к = 0, тј. ако f има граничну вредност n у +∞ (респективно -∞), тада график функције f има хоризонталну асимптоту у +∞ (респективно -∞), чија је једначина y = n.
•Ако је к ≠ 0, тад се права зове коса асимптота графика функције f у +∞ (респективно -∞). Бројеви к и n се у том случају одређују:
k = \lim_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{x} \qquad n = \lim_{x \to + \infty}(f(x)-kx).
Односно:
k = \lim_{x \to - \infty} \frac{f(x)}{x} \qquad n = \lim_{x \to - \infty}(f(x)-kx).
Дефиниција: Вертикална асимптота графика функције f у тачки x0 је права x = x0, ако f дивергира ка +∞
или -∞, када x → x0+ или x → x0-.
Пример: Покaзати да је
\lim_{x \to 0} \frac{ \sin x}{x} = 1.
Посматрамо тачку О(0,0) и јединичну кружницу чији је она центар. Нека је дат угао 0 < x < π/2 , чији краци секу кружницу у тачкамa А (1, 0) и B (x, y). Тангента кружнице у тачки А нека сече крак ОB у тачки C и нека је D подножје нормале из тачке B на x - осу. Након што смо конструисали наведене елементе, изводимо доказ за почетну претпоставку.