Диференцијални рачун
Почетна страна »
Функције »
Низови »
Гранична вредност »
Особине »
• Асимптоте »
• Смена променљивих »
Непрекидност функције »
Изводи »
Примена извода »
Јована Јездимировић,
Универзитет у Београду, Математички факултет
Смена променљивих
У случају потребе израчунавања граничне вредности нпр.
\lim_{x \to 0} \sin {3x}
Поступамо тако што уведемо смену t = 3x и посматрамо:
\newline 1.\qquad x \to 0 \Rightarrow t \to 0
\newline 2. \qquad \lim_ {t \to 0} \sin {t} = 0
Одакле је:
\lim_{x \to 0} \sin {3x} = \lim_{t \to 0} \sin {t} = 0
За решавање сличних примера граничних вредности уводимо две теореме:
• Теорема ( ПРАВИЛО СМЕНЕ ПРОМЕНЉИВИХ ЗА ГРАНИЧНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈЕ ):
Ако постоје граничне вредности
\lim_ {x \to a} f(x) = L \qquad \lim_ {y \to b} g(y) = K \qquad за x \neq x_ 0
у некој околини (xо - ε, x0 + ε) важи да је f(x) ≠ L, тада постоји
\lim_{x \to a}(g \cdot f)(x) \qquad \lim_{x \to a}(g \cdot f)(x) = K.
• Теорема: Нека је f : A → R, a, b ∈ R. Потребан и довољан услов за
\lim_ {x \to a}f(x) = b,
је да је
\lim_ {n \to \infty}f(x_n) = b \qquad \lim_{n \to \infty} x_n =a
за сваки низ ( xn ) n ∈ N такав да је xn e A \ {а} за свако n ∈ N.
На основу претходне теореме важи да за сваки низ (an) n ∈ N такав да је
\lim_{n \to \infty} a_n = 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} (1 + a_n)^ { \frac{1} {a_ n}} = e.
Пример: Одредити граничне вредности:
\newline 1. \lim_ {x \to 0} \frac {\tan {4x}}{x} \newline \newline 2. \lim_ {x \to 1} \frac {x^4 - 2x^3 +2x -1}{x^4 - 5x^3 + 9x^2 - 7x +1} \newline \newline 3. \lim_ {x \to \infty } ( \frac {x^2 -1}{x^2 - 3x +2} )^x \newline \newline 4. \lim_ {x \to 1} \frac{ \sin{(x-1)}}{(x^2+1) \arctan{(1-x)}}
Решења::
\newline 1. \lim_ {x \to 0} \frac {\tan {4x}}{x}= \lim_ {x \to 0} \frac { \sin{4x}}{x \cos{4x}}= \lim_ {x \to 0} \frac{4 \sin{4x}}{4x} \cdot \lim_ {x \to 0} \frac{1}{ \cos{4x}}= 4 \newline \newline 2. \lim_ {x \to 1} \frac {x^4 - 2x^3 +2x -1}{x^4 - 5x^3 + 9x^2 - 7x +1}=\lim_ {x \to 1} \frac {(x-1)^3(x+1)}{(x-1)^3(x-2)}= -2 \newline \newline 3.\lim_ {x \to \infty } ( \frac {x^2 -1}{x^2 - 3x +2} )^x= \lim_ {x \to \infty } ( \frac {x^2 - 3x +2 + 3x -3}{x^2 - 3x +2})^x= \newline = \lim_ {x \to \infty }{((1 + \frac {3x - 3}{x^2 - 3x +2})^{\frac{x^2 -3x +2}{3x -3}})^{\frac{(3x-3)x}{x^2 - 3x +2}}}=e^3 \newline
\newline 4. \lim_ {x \to 1} \frac{ \sin{(x-1)}}{(x^2+1) \arctan{(1-x)}}= \lim_ {x \to 1} \frac{1}{x^2 +1} \lim_ {x \to 1} \frac{ \sin{(x-1)}}{\arctan{(1-x)}} = - \frac{1}{2} \lim_ {x \to 1} \frac{ \frac{ \sin{(x-1)}}{x-1}}{ \frac{ \arctan{(1-x)}}{1-x}}= = - \frac{1}{2} \lim_ {x \to 1} \frac{1}{\frac{ \arctan{(1-x)}}{1-x}}= - \frac{1}{2} \lim_ {u \to 0} \frac{u}{\tan u} = - \frac{1}{2} \lim_ {u \to 0} \frac{\frac {u}{1}}{\frac { \sin u}{ \cos u}}= - \frac{1}{2}
Где је:
\qquad u = \arctan{(1-x)} \Rightarrow \tan u= 1-x